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con是什么(con是什么数学)


(观看相应视频:第六章:复数，续)本章通过复平面上变换的动画演示，加深人们对复数概念的直观感受 。
变换T是将每个平面中的一个点，即复数Z，与另一个点T(z)连接起来的运算 。为了展示变换，我们把法国数学家杜阿迪的照片放在一个平面上，以展示其变换后的样子:照片中的每一个像素都是通过T变换得到的 。
下面以Douady自己的照片为例，给出复平面变换T函数的例子 。
T(z) = z/2
每个数字除以2，画面缩小2倍:一个反向缩放！我们称之为潜在转变 。
T(z) = iz
根据I的定义，这是旋转四分之一圆 。
T(z) = (1 i)z1+I的模是√2，它的自变量是45 。这是一个由45°旋转和√2因子组成的变换 。这叫相似 。这是复数的一大优势:它允许我们把简单的相似性描述为乘法 。
T(z) = z2这是我们的第一个非线性变换 。把照片放在不同的点上，我们就知道在复平面上应用平方的效果:模的振幅是平方的两倍 。
T(z) = -1/z这种变换的作用类似于反演 。对应于0的原点无法转换 。但我们一致认为原点被转化为一个无穷远的点 。原因很简单:如果一个复数Z趋近于0，即模趋于0，那么变换后的数-1/z-Z的模的倒数将趋于无穷大 。这种变换具有“爆炸”的性质，将场中靠近原点的点移动到远处，跨越了屏幕的边界...反之，远离原点的点被“压”到原点附近 。
长期以来，学术书籍都非常重视反演，因为它有助于我们证明相当漂亮的定理 。反演最重要的性质是将圆转化为圆或直线 。艺术家使用这种类型的转换，称之为扭曲 。
T(z) = (az b)/(cz d)
更一般的，如果我们选择四个复数A，B，C，D，考虑变换T(z) = (az b)/(cz d) 。
这些变换在数学上有几个名称——莫比乌斯变换、射影变换、单应变换——但它们的主要性质是将圆变换成圆或直线 。这是一个很美的几何——共形几何的变换群 。这个几何类似于非欧几何，是另一个话题！
T(z) = z k/z
俄罗斯科学家茹科夫斯基在发展翼型空气动力学的过程中研究了这种转变 。这个图表的意义在于它显示了这种转换的基本性质 。当然不再保圆(只有莫比乌斯变换是保圆的)，但在无穷小的范围内仍然是保圆的 。这些变换叫做全纯变换或共形变换 。希腊和拉丁词根“holo”和“con”表示“相同”，“morph”表示“形式”:换句话说，这些转换保持了形状 。全纯函数的研究在数学中起着重要的作用 。
六、复变动态系统在第六章的第二部分，多阿迪介绍了一个重要的分支，他也是这个分支的贡献者之一 。是对茱莉亚集的研究，不仅仅是基于对数学的兴趣，还因为它美得出奇(当然这两点也是有关联的) 。一个强大的数学理论很少能以如此美丽的形式展示出来 。许多艺术家受到这些图像的启发 。
一开始的思路很简单:我们随机取一个复数C 。考虑变换TC (z) = Z C .它对复数Z求平方，然后平移c .在起点Z，变换的结果是z1 = Tc(z) 。再者，我们可以考虑它的变换结果z2 = Tc(z1) 。我们一直这样无限地进行下去，产生一个复杂的序列zn，每个数都是从前一个数转化而来的 。我们说在变换Tc下，序列zn在起点z的轨道上，研究序列zn的性质就是了解Tc的动力学 。下面这个简单的例子足以说明数学之美 。
首先考虑c=0的情况 。此时，变换实际上是重复Tc(z)= z2 。每个复数zn的模是前一个复数的平方 。如果Z的模小于或等于1，即Z在以原点为圆心，半径为1的圆内，那么所有zn都在圆内 。另一方面，如果复数z的模大于1，则zn的模将保持增加并趋于无穷大 。z的赛道终将超越屏幕！
在第一种情况下，我们说轨道是稳定的，它总是在平面的一个有界区域内 。在第二种情况下，它是不稳定的，它趋于无穷大 。所以稳定轨道的点Z的集合是一个圆 。
更一般的是，对于c的每一个值，我们还可以得到Z点的两条轨道，Z在Tc变换下的轨道是稳定的，如果它总是在平面的一个有界区域内，否则就是不稳定的 。稳定轨道的Z的点集称为变换Tc的填充Julia集 。了解这些Julia集的结构以及它们如何随C的变化而变化，是解析动力系统理论的一个重要目的 。首先，Douady向我们展示了一些Julia在不同C下的组装实例，其中一些有着奇怪的名字，比如“Rabbit”(你见过它的耳朵吗？)是在C =-0.120.77I时得到的 。
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从20世纪初开始，人们就知道朱莉娅的收藏有两种 。它可以是单个部分，就像我们展示的例子一样——用数学家的话来说是连接的——也可以是完全断开的，由无限多个独立的片段组成，每个片段内部都有一组空，我们在图像中看不到它！使我们能看到朱丽亚集(朱丽亚集相连)的点C的集合叫做曼德尔伯格集，以纪念本华·曼德尔伯格 。为了理解这本多阿迪作品集；他在证明集合是连通的方面做出了贡献，他会很乐意向我们展示集合是局部连通的…


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