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微积分有什么用(微积分为什么可以求面积)

来源:数学真的很美
人类文明的每一次飞跃，总是以数学成就的迸发为先导 。当现有的数学工具不能满足社会生产生活的需要时，就意味着数学中新的瓶颈将被打破 。自从人类在这个蓝色星球上诞生以来，随着时代的变迁，未解决的问题越来越多 。
当历史的车轮来到17世纪，划时代的“微积分”诞生了，之前积累的大量问题仿佛在一夜之间迎刃而解，人类辉煌的现代文明就这样开始了 。然而，在任何一门新学科诞生之初，都不是那么容易的 。那么微积分经历了怎样的艰辛曲折的过程呢？这还得从遥远的古代说起 。
早在公元前7世纪，被誉为“科学和哲学之祖”的泰勒斯就开始用微积分的方法研究一个球的面积、体积、长度等问题 。公元前3世纪，古希腊数学家、力学家阿基米德的著作中也包含了“积分学”思想的萌芽 。中国古代三国时期，刘徽发明了“割圆”，这也是“积分学”思想的早期萌芽 。
人类经过漫长的发展，积累了太多难以解决的问题 。尤其是当历史的车轮来到17世纪，许多科学问题迫切需要更有利的数学工具来解决 。在这种背景下，微积分作为历史上最强大的数学工具应运而生 。
在微积分建立之前，人类面临的问题可以分为四类:第一类是运动中的“瞬时速度”问题 。第二类问题是几何中的“求曲线的切线”问题 。第三类问题是“求函数的最大值和最小值”的问题 。第四类是“求曲线的长度，曲线围成的面积”，“曲面围成的体积”，“物体的重心”，一个体积相当大的物体作用在另一个物体上的“引力” 。
为了理解这些复杂的问题，数学家们首先从“天文”、“航海”等实际问题中引入了“函数”这一核心概念 。正是“函数概念”的建立，导致了以“函数”为主要研究对象的“微积分” 。
“微积分”的出现，是自欧几里得的史诗巨著《几何原本》开创“欧几里得几何”以来，又一个最伟大的数学成就 。
当然，“微积分”的诞生和“欧氏几何”的诞生是一样的，都是在前人丰富的成果上总结出来的 。在此之前，许多著名的学者，如费马、笛卡尔、罗博瓦、吉拉德·笛沙格、巴罗、瓦里斯、开普勒、卡瓦列里等人，都对微积分的建立做出了许多重要贡献 。
17世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨在前人工作的基础上，从不同角度完成了微积分的最后总结性工作 。这两个角度是看似不相关的学科和领域 。牛顿对微积分的研究侧重于“运动学”，而莱布尼茨侧重于“几何学” 。而且，构成微积分的“微分”和“积分”似乎相差甚远 。微分学的核心问题是切线问题，而积分学的核心问题是求积问题 。微积分唯一共同的基础是无穷小，这是微积分的另一个名字无穷小分析的由来，也是现代分析这个名字的由来 。
1736年，牛顿出版了《流识数与无穷级数》 。本书提出的微积分也叫“流数”，核心导数也叫“流数” 。牛顿在“流数技术”中提出了两个核心问题:“微分法”和“积分法”:连续运动的路径已知，给定时刻的速度称为“微分法”；给定运动速度，求给定时间内走过的距离叫“积分法” 。
当牛顿做这些工作时，伟大的德国数学家莱布尼茨也在做类似的工作 。1684年，莱布尼茨发表了一篇划时代的论文:《求极大极小值和切线的新方法，同样适用于分数和无理数，以及这种新方法的计算的奇妙类型》 。在这篇论文中，莱布尼茨提出了我们今天看到的“微分符号”和“基本微分法则” 。他创造的微积分符号远远优于牛顿的符号，极大地促进了微积分的发展 。我们现在使用的所有一般微积分符号都是莱布尼茨当时创造的 。
虽然牛顿和莱布尼茨在互不相识、角度不同的情况下建立了微积分，但他们发表的时间和实际建立的时间是不同的 。究竟是谁最先创造了微积分的问题引起了一场大战，直到他们去世后很久，学术界才给出了定论:虽然牛顿关于微积分的大部分工作都是在莱布尼茨之前完成的，但是微积分的主要思想是由莱布尼茨独立完成的 。
微积分诞生后，给现代科学技术带来了前所未有的推动力 。然而，令人意想不到的是，人们急于利用微积分在各个领域获得新的成果，无暇考虑微积分“底层逻辑”的完善，这使得人们在使用微积分的过程中发现越来越多的悖论和谬误 。比如人们在使用微积分的时候，对“无穷小量”的处理就显得很随意 。有时，他们把“无穷小量”看作非零的“有限量”，从方程的两端消去，但有时又把“无穷小量”置为零，不予理会 。由于这些矛盾，引起了数学界的大辩论，最后引起了以爱尔兰主教贝克勒为首的反科学势力的猛烈抨击 。新建立的“现代数学大厦”摇摇欲坠，“第二次数学危机”爆发 。


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