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和数和质数的概念 质数的概念( 二 )


从哥德巴赫关于偶数的猜想可以推断，任何大于7的奇数都可以写成三个素数之和 。后者被称为“弱哥德巴赫猜想”或“奇数上的哥德巴赫猜想” 。
如果关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，那么关于奇数的哥德巴赫猜想也将是对的 。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年前苏联数学家维诺格拉多夫证明了一个足够大的奇素数可以写成三个素数之和，也称为哥德巴赫-维诺格拉多夫定理或三素数定理 。数学家认为弱哥德巴赫猜想已经基本解决 。
【和数和质数的概念 质数的概念】黎曼假设
黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼(1826-1866)于1859年提出 。德国数学家希尔伯特列举了23个数学问题，其中黎曼假设被包含在第八个问题中 。自然数中素数的分布没有简单的规律 。黎曼发现素数的频率与黎曼ζ函数密切相关 。黎曼猜想提出了黎曼ζ函数ζ(s)的非平凡零点(这里s不是点-2，-4，-6等的值 。).)是1/2 。换句话说，所有的非平凡零点都应该位于直线1/2+ti(“临界线”)上 。t是实数，I是虚数的基本单位 。到目前为止，还没有人对黎曼猜想给出令人信服的合理证明 。
在黎曼猜想的研究中，数学家称复平面临界线上的直线为Re(s)=1/2 。利用这一项，黎曼猜想也可以表示为:黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于临界线上 。
黎曼猜想是黎曼在1859年提出的 。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个结论:Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上 。他在证明失败后放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大 。但是这个问题至今没有解决，甚至一个更简单的假设都没有被证明 。函数论和解析数论中的许多问题都依赖于黎曼假设 。代数数论中的广义黎曼假设影响深远 。如果黎曼的假设能被证明，很多问题都可以解决 。
孪生素数猜想
1849年，波利纳克提出了孪生素数猜想，即他猜测孪生素数有无限对 。
猜想中的“孪生素数”是指一对相差2的素数 。比如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959都是孪生素数 。
100以内的质数是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97 。
费马数2 (2 n)+1
被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过素数的性质 。他发现，如果Fn = 2 (2 n)+1，那么当n等于0，1，2，3，4时，Fn分别给出3，5，17，257，65537，这些都是素数 。因为F5太大(F5=4294967297)，他没有进一步测试就走了下去 。这是费马数 。费去世67年后，25岁的瑞士数学家欧拉证明F5是一个合数 。
后来数学家再也没有发现哪些Fn值是质数，都是合数 。目前由于广场较宽，证明较少 。现在数学家得到了Fn的最大值:n=1495，有10 ^ 10584位数之多 。虽然很大，但不是质数 。
梅森素数
在17世纪，有一个叫梅森的法国数学家，曾经做过一个猜想:2 p-1，当P是一个质数时，2 p-1就是一个质数 。他查了一下，当p=2，3，5，7，17，19时，得到的代数表达式的值都是素数 。后来欧拉证明，当p=31时，2 p-1是素数 。当p = 2，3，5，7，2时，p-1是素数，但当p=11时，2047=23×89不是素数 。
还剩下三个梅森数，p = 67,127,257 。因为太大了，很久都没人考证 。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明了2 67-1 = 193707721× 761838257287是一个合数 。这是第九个梅森号码 。20世纪已经证明梅森数10是素数，梅森数11是合数 。素数排列的混乱也让人们很难找到素数的规律 。
现在数学家发现的最大的梅森素数是2 43112609-1 。
编辑本段中的素数定理 。
素数定理描述了素数的一般分布 。素数出现的规律一直困扰着数学家 。一个接一个，正整数中素数的出现是不规则的 。但一般来说，素数的个数是有规律的 。通过对齐实数X，并将π(x)定义为不大于X的素数的个数，数学家们找到了一些估计π(x)增长的函数 。以下是第一个这样的估计 。π(x)≈x/ln x其中ln x是x的自然对数，上式表示当x趋近于∞，π(x)与x/ln x之比趋近于1(注:这个结果是高斯发现的) 。但这并不意味着它们的值随着x的增加而接近，这里有一个很好的估计π(x):π(x)= Li(x)+O(XE(-(lnx)(1/2)/15)，当x接近∞时 。其中Li(x) = ∫(dt/ln x2，x)，关系式右侧的第二项是误差估计 。
素数定理可以给出第n个素数p(n): p (n) ~ n/ln n的渐近估计，也可以给出从整数中提取一个素数的概率 。随机选择一个不大于n的自然数，它是素数的概率约为1/ln ^ n，这个定理的公式是由法国数学家勒让德在1798年提出的 。1896年，法国数学家雅克·哈达玛和比利时数学家夏尔·让·德拉瓦莱-普桑分别给出了证明 。证明了采用复分析，尤其是黎曼ζ函数 。因为黎曼ζ函数与π(x)密切相关，所以关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论非常重要 。一旦猜想被证明，素数定理的误差估计就可以大大提高 。1901年，瑞典数学家赫尔格·冯·科赫(Helge von Koch)在假设黎曼猜想成立的情况下，证明了上述关系式中误差项的估计可以改进为π (x) = li (x)+o (x (1/2) ln x)，但大O项的常数未知 。素数定理的一些初等证明只需要数论的方法 。1949年，匈牙利数学家保罗·伊迪丝(“鄂尔多斯”或“埃尔多希”)和挪威数学家阿特里·西尔伯格获得了第一个初等证明 。在此之前，一些数学家不相信没有困难数学的帮助就能找到初等证明 。英国数学家哈代说，素数定理必须用复分析来证明，可见定理结果的“深度” 。他认为，仅仅使用实数不足以解决某些问题，必须引入复数来解决 。这是基于感觉有些方法比其他方法更先进更强大，素数定理的初等证明动摇了这个论点 。塞尔伯格-伊迪丝的证明恰恰说明了看似初等的组合数学也可以非常强大 。但需要指出的是，这种初等证明虽然只用初等方法，但比用复分析还要难 。


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