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突变理论及其应用-突变理论是什么？( 二 )


多年来 ， 自然界中许多事物连续、渐进、平稳的运动和变化过程 ， 都可以通过微积分得到满意的解决 。比如地球绕着太阳旋转 ， 并且有规律地持续进行 ， 这样人们就可以非常准确地预测未来的运动状态 ， 这需要用经典微积分来描述 。然而 ， 自然和社会现象中有许多突变和飞跃 。飞越引起的不连续性使得系统空的行为不可微 ， 微积分无法求解 。比如水突然沸腾 ， 冰突然融化 ， 火山爆发 ， 某个地方突然发生地震 ， 房子突然倒塌 ， 病人突然死亡 。
这个由渐变量变到突变质变的过程是一个突变现象 ， 微积分无法描述 。过去 ， 科学家在研究这些突变时遇到了各种困难 ， 其中最主要的困难是缺乏合适的数学工具来提供描述它们的数学模型 。那么 ， 有没有可能建立一个关于突变现象的一般数学理论来描述各种跳跃和不连续的过程呢？这迫使数学家们进一步研究突变理论和不连续数学理论的飞跃过程 。1972年 ， 法国数学家雷内·托姆在《结构稳定性与形态发生》一书中明确阐述了突变理论 ， 并宣布了突变理论的诞生 。
基本内容
突变理论主要以拓扑学为工具 ， 在结构稳定性理论的基础上 ， 提出了区分突变与跳跃的新原则:在严格控制下 ， 如果质变中经历的中间过渡态是稳定的 ， 那么它是一个渐进的过程 。比如拆墙 ， 如果从上面一块一块拆砖 ， 整个过程就是一个结构稳定的渐进过程 。如果墙从基脚拆除到一定程度 ， 墙的结构稳定性会被破坏 ， 墙会倒塌 。这种结构性不稳定是一个突变和飞跃的过程 。再比如社会变迁 ， 从封建社会到资本主义社会 。法国大革命是通过暴力实现的 ， 而日本的明治维新是通过一系列渐进的改革实现的 。对于这类结构的稳定性和不稳定性 ， 突变理论用势函数的凹陷存在性来表示稳定性 ， 用凹陷抵消来表示不稳定性 ， 有自己的一套操作方法 。例如 ， 一个小球在凹陷的底部是稳定的 。如果放在突起的顶部不稳定 ， 球会从顶部不稳定地滚动 ， 并过渡到新的凹陷 ， 情况会突然改变 。当球处于新的洼地底部时 ， 又开始稳定 ， 所以势函数洼地的存在和消失是判断事物稳定和不稳定、渐变和突变过程的依据 。Tom的突变理论是用数学工具来描述系统状态的跳跃 ， 并给出系统处于稳定状态的参数区域 。当参数改变时 ， 系统状态随之改变 ， 当参数经过某些特定位置时 ， 状态会突然改变 。
突变理论提出了一系列数学模型来解释自然和社会现象中的不连续变化过程 ， 并描述了各种现象为什么会突然从一种形式跳跃到另一种根本不同的形式 。如岩石的断裂、桥梁的断裂、细胞的分裂、胚胎的变异、市场的破坏、社会结构的剧烈变化 。根据突变理论 ， 自然和社会现象中的大量不连续事件可以用一些特定的几何形状来表示 。Tom指出 ， 3D 空和1D 空之间有七种类型的突变在四种因素控制下:折叠突变、尖点突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲线脐突变、椭圆脐突变和抛物线脐突变 。
比如用拇指和中指握住一根弹性钢丝 ， 向上弯曲 ， 然后用力按压钢丝使其变形 。当达到一定水平时 ， 钢丝会突然向下弯曲 ， 失去弹性 。这是生活中常见的突变现象 。它有两种稳定状态:向上弯曲和向下弯曲 。状态由两个参数决定 ， 一个是手指握持的力(水平方向) ， 另一个是钢丝的压力(垂直方向) ， 可以用尖顶的突变来描述 。尖端突变和蝴蝶突变是几种定性状态中的可逆模型 。自然界中也有一些过程是不可逆的 。比如 ， 死亡是一种突变 ， 活着的人可以变成死人 ， 但不能反过来 。这种过程可用折叠突变、燕尾突变等等时函数奇次最高的模型来描述 。因此 ， 突变理论就是用生动准确的数学模型来描述质量相互变化的过程 。
英国数学家齐曼教授将突变理论称为“数学上的一场智力革命——继微积分之后最重要的发现” 。他还成立了一个研究小组 ， 仔细研究并扩大其应用 。短短几年 ， 已经有400多篇论文 ， 可以说是大获成功 。由于这一成就 ， 汤姆获得了国际数学领域的最高奖项菲尔兹奖 。


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