数论重大突破：120年后希尔伯特的第12个数学难题借助计算机解决( 二 ) _生活百科

来自俄勒冈大学的 Ellen Eischen 说：「要想得到非阿贝尔式，你不必走得很远。」
除了这些对称性之外，阿贝尔多项式还有一个显著的特点，那就是试图用简单而准确的术语来描述多项式的根。例如，很容易准确地描述多项式 x^23 的根：多项式的根是正负根 3 。但是对于指数较大的复杂多项式来说，要写出它的根是很困难的。
当然，也有变通的办法，「你可以用数字来近似『多项式的根』，」Eischen 说。但如果你想用一种明确的方式写下来，只能用有限的方式来写。
然而，具有有理系数的阿贝尔多项式是特殊的：总是可以从固定的构建块集合中精确地计算它们的根。这个发现被证明是如此的强大，它启发了希尔伯特提出了他的第 12 个问题，而这一切都归功于一组被称为单位根的数字。
单位根
单位根是一个看似简单却非常重要的概念。数值上，它们是多项式的解，其中，变量的幂被设为 1 。比如， x^5 = 1 或者 x^8 = 1 。这些解是复数，它们由指数中的数字表示。例如，5 次单位根就是 x^5 = 1 的五个解。
但是单位根也可以用几何来描述，而不用方程。如果把它们画在复平面上，这些点都在一个半径为 1 的圆上。如果你把圆看作一个时钟，那么在 3 点钟指向，你总会有一个单位根，其中 x=1，因为 1 对任何幂仍然是 1 。剩下的单位根在圆的周围等间距分布。

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19 世纪，在希尔伯特提出数学问题清单之前，数学家们发现，单位根可以作为他们想要研究的特定数字集合的「构建块」：具有有理系数的阿贝尔多项式的根。如果你把单位根简单地组合（用有理数加、减、乘）起来，你就能描述出所有这些期望的根。例如，5 的平方根是阿贝尔多项式 x^2-5 的根，并且可以表示为不同五次单位根的和。这与素数构建整数块的方式类似。

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因此，单位根需要精确的构造块，你需要用有理系数完美地描述阿贝尔多项式的根。另一方面，任何单位根的组合都会产生一个数，这个数是某个有理系数阿贝尔多项式的根。这两者有着千丝万缕的联系。
希尔伯特在提出他的第 12 个问题时，想要让数学家们找到阿贝尔多项式根的构造块，它的系数来自有理数以外的数系统。换言之，对于其他数系统单位根有什么相似之处？
【数论重大突破：120年后希尔伯特的第12个数学难题借助计算机解决】几十年未解决的难题
这是一个雄心勃勃的问题，这也是它出现在希尔伯特清单上的原因。他猜想这个问题是可以回答的，因为他在提出这个问题时，就对另一种数字系统（称为虚二次域）组成构建块的描述方式有一个构想——大体上，该系统仅包含有理数和负数的平方根。几十年后，他的猜测被证明是正确的。
伦敦帝国理工学院的 Alice Pozzi 说：「该问题有两种情况：『有理』情况和虚二次域情况。」希尔伯特希望以与这两种已知情况相似的方式描述其他数字系统的基本组成。这意味着要使用复分析（一种研究复函数的数学理论）。
但是在 20 世纪 70 年代，希尔伯特的第 12 个问题已经提出几十年之后，数学家 Harold Stark 猜想可以借助 L 函数破解这个问题。
L 函数是一类重要的复变数函数，通常以无穷级数表示，它是黎曼ζ函数的推广，黎曼ζ函数如下：

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几个世纪以来，数学家都知道 L 函数是神秘并且极有意义的，它们给出了π等重要常数的无穷级数表示法。
在这种直觉的基础上，Stark 能够使用 L 函数来模拟其他数字系统的单位根。然而，尽管数学家认为 Stark 的猜想是正确的，并且已经使用计算机分析法对其进行了广泛的测试，但他们并没有获得任何成功的证明。
Darmon 说：「据我们所知，要证明 Stark 的猜想真的很困难，五十年来几乎没有任何进展。」因此，Stark 的猜想只是提供了一个简单的思路，他猜想可以使用 L 函数从其他数字系统找出含系数阿贝尔多项式的根的构建块，但是没人知道如何证明这一点。
更糟糕的是，Stark 的方案只提供了实际描述组成构件块所需要的一半信息。就像要在地图上寻找一个位置，只提供了经度，还需要纬度才能找到特定的地点。
20 世纪 80 年代，Benedict Gross 发表了 Stark 方案的修改版本来继续这项数学研究。希尔伯特和 Stark 都曾考虑使用复数，而 Gross 使用了 p 进数（p-adic numbers）。