数论重大突破：120年后希尔伯特的第12个数学难题借助计算机解决( 三 ) _生活百科

这两种方法都是标准数字的替代方案，标准数字使用不同的方法来确定两个数字是否接近。

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Benedict Gross 。
利用 p 进数可以重写数学中的许多概念，其中包括 L 函数。实际上在现代数论中，p - 进 L 函数与复 L 函数的关系非常密切。
即便如此，起初 Gross 将复数转换为 p 进数似乎却没有让 Stark 猜想的证明问题更进一步。在随后的几十年中，随着数字理论领域 p 进数数论的发展，Gross 的 p 进数猜想变得容易了一些。
Darmon 说：「借助 p 进数分析能够得到许多有趣的结果。」事实证明，相比于复数，使用 p 进数更容易解决数学中一些重要的问题，希尔伯特的第 12 个问题恰恰如此。
另辟蹊径：计算机程序找到数字系统的构建块
今年 3 月，杜克大学教授 Samit Dasgupta 和印度科学研究院教授 Mahesh Kakde 发表的这篇论文首次使用 p - 进数 L 函数回答了希尔伯特关于独立大型数字系统的问题。这些数字系统被称为「全实域（totally real field）」，是有理数的延伸，并包含给定多项式的一个根。

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p - 进数 L 函数。两位教授通过 Deligne–Ribet 和 Cassou-Nogues 构造了一个 p 进数亚纯函数，并满足插值性。
2004 年，Dasgupta 在其博士论文中首次提出了所需要的最终公式——对 Gross 的猜想进行了改进。此后的十年里，利用 p 进数数字理论的发展，他又先后发表两篇论文并最终证明了 Gross 的猜想。但这还不足以解决希尔伯特的第 12 个问题，因为与 Stark 猜想一样，Gross 的猜想只提供了精确描述构建块所需的两个数字之一。
在过去的三年里，Dasgupta 和 Kakde 合作想要证明能够提供构建块所需的两个数字的 Gross 猜想，尽管看起来可能无法实现。
Kakde 曾说道：「我们两人都非常乐观。有时会遇到难以解决的障碍，但幸运的是，我们一直在取得进展。」
直到 2020 年，他们终于有了突破，证明了与全实域相关的精确构建块的确存在。换言之，他们知道自己想要实现的东西就在某个地方，并指引他们朝着正确的方向前进。他们得到了用以证明完整描述构建块的精确公式存在的关键方程式。

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格罗斯猜想的部分证明步骤。
为了验证正确性，Dasgupta 的两名学生编写了一个计算机程序，由此生成了用于给定数字系统的构建块，并展示了工作原理。除了理论证明之外，这个计算机程序还帮助证明了 Dasgupta 和 Kakde 提出的公式的正确性，这是解决此类抽象问题的一个重要因素。
此外，这个计算机程序在 GitHub 上有一个项目，名为「Computation-of-Elliptic-Units」，主要计算「生成实二次域希尔伯特类域所需的椭圆形单位和多项式」。下表 1 为一部分计算结果：

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项目地址：https://github.com/liuyj8526/Computation-of-Elliptic-Units
希尔伯特的第 12 个问题要求精确描述阿贝尔多项式的根的构造块，类似于单位根，Dasgupta 和 Kakde 的研究给出了一系列数字系统的构造块，尽管是以 p - 进 L 函数的形式，具有明显的现代性。
但还有最后一个问题：既然希尔伯特明确地写道，构建块应该由复数组成，那么这个解偏离希尔伯特最初的指令，这显示了数学的通用性。使用 p 进数分析为希尔伯特的问题提供了答案，但使用复分析的原始问题仍需未来的数学家探索。可能有很多方法来描述构建块，未来也许能够使用复数来描述它们，从而满足希尔伯特的最初要求。
正如 Gross 所说：「这是一场接力赛，当你精疲力尽时把接力棒传给下一个人。」