数论重大突破：120年后希尔伯特的第12个数学难题借助计算机解决 _生活百科

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德国数学家大卫 · 希尔伯特提出的 23 个问题对二十世纪现代数学的发展起了非常积极的推动作用。这 23 个问题涉及了基础数学、数论、代数和几何以及数学分析等多方面，其中的大多数已经得到圆满或部分解决。其中未解决的第 12 个问题「一般代数数域的阿贝尔扩张」终于在百年之后得到了解决，还是以一种意想不到的方式解决。
德国数学家大卫 · 希尔伯特（David Hilbert）是二十世纪最伟大的数学家之一，被后人称为「数学世界的亚历山大」。他对数学领域做出了广泛和重大的贡献，研究领域涉及代数不变式、代数数域、几何基础、变分法、积分方程、无穷维空间以及物理学和数学基础等。1899 年出版的《几何基础》成为近代公理化方法的代表作，且由此推动形成了「数学公理化学派」。

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David Hilbert 。
1900 年 8 月 8 日，在法国巴黎举办的第二届国际数学家大会上，大卫 · 希尔伯特提出了新世纪数学家应当努力解决的 23 个问题。这 23 个问题统称「希尔伯特问题」，共分属四大块：1 至 6 属于基础数学问题，7 至 12 属于数论问题，13 至 18 属于代数和几何问题，19 至 23 属于数学分析问题。这些问题成为了后世数学家们努力攻克的难关，并对现代数学的研究和发展产生了积极和深刻的影响。
一个多世纪过去了，这些问题中的大多数得到了圆满解决或部分解决，但有些依然未能解决，其中包括第十二个问题「一般代数数域的阿贝尔扩张（Abelian extension）」。就其定义而言，阿贝尔扩张是一类重要的域扩张，设 K 是域 F 的伽罗瓦扩域，若其伽罗瓦群 G(K/F) 为一阿贝尔群，则称此扩张为阿贝尔扩张，此时，K 称为 F 上阿贝尔扩域。
1912 年，德国数学家埃里希 · 赫克使用希尔伯特模形式研究了实二次域的情形，虚二次域的情形用复乘理论已基本解决。一般情况下的阿贝尔扩张则尚未解决。

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图源：wikipedia 。
其实，在希尔伯特提出他的 23 个问题清单前不久，数学家们就发现了一些与有理数相关的特定数字的构建块，其中这些有理数可以使用整数比例来表示。巧合的是，这一发现是解决第 12 个问题的基础，要求寻找与有理数以外的数字系统相关的构建块。
经过数学家们数十年不断的研究探索，今年 3 月初发表在 arXiv 上的论文《Brumer–Stark Units and Hilbert’s 12th Problem 》终于描述出了希尔伯特 100 多年前寻找的用于广泛数字系统的构建块，但是得出的答案依赖一些非常现代的观点。

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论文地址：https://arxiv.org/pdf/2103.02516.pdf

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论文作者分别是杜克大学数学系教授 Samit Dasgupta（左）和印度科学研究院数学系教授 Mahesh Kakde（右）。
对于这项研究，美国数学家、加州大学圣地亚哥分校和哈佛大学名誉教授 Benedict Gross 表示：「这是我们期待已久的事情，他们确实取得了一项重大突破。虽然与希尔伯特的想法完全不同，但这就是数学的魅力。你永远无法预测以何种方式解决问题。」
在解读这两位数学家的研究成果和方法前，我们首先来了解下希尔伯特第 12 个问题的数论基础以及百年来数学家们在此问题上做出的种种努力和尝试。
数论基础：表达式的根
希尔伯特第 12 个问题是建立在数论基础上，是研究数字的基本算术性质，包括多项式表达式的解，比如 x^3 + 2x3 。特别地，数学家经常研究这些表达式的根，使多项式等于零的 x 的值。
数论家经常根据多项式的系数类型来分类多项式。以有理数为系数的系数相对简单，是研究的共同目标。
「我们从有理数开始，」杜克大学的数学家 Samit Dasgupta 说，他是这项最新研究的作者之一，还有一位合作者是来自印度科学研究院数学系教授 Mahesh Kakde 。并表示道：「这是数论的基本系统。」
有时有理系数多项式的根本身就是有理数，但情况并非总是如此。这意味着数学家想要找到所有有理数多项式的根，需要在一个展开的数系统中寻找：复数，包括所有有理数和实数，加上虚数 i 。

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当在复平面上绘制多项式的根时，实数沿着 x 轴，纯虚数沿着 y 轴，某些对称性就会出现。这些对称性可以用来重新排列这些点，排列它们的位置。如果你能以任何顺序应用对称性得到相同的结果，那么多项式是阿贝尔式的。但是如果你应用对称性的顺序改变了结果，那么这个多项式是非阿贝尔式的。数论家对阿贝尔多项式最感兴趣，同样是因为它们的简单性，但它们很难区分。例如，x^2 2 是阿贝尔式的， x^32 则不是。