如何理解实数的连续性 实数是什么
实数是什么(如何懂得实数的持续性)
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很多人都知道:在实数规模内,每一个实数都可以用数轴上的点来表现;反过来,数轴上的每一个点都表现一个实数,我们说实数和数轴上的点一一对应 。
什么叫一一对应?一条数轴上有无数个点,可以说是“密密麻麻”的,实数有无数个,数都数不清晰 。有理数和无理数构成实数,在直线上取定一个原点,一个单位长和一个方向,直线就成了数轴 。因此,数轴上的每个点代表一个实数,每个实数都可以用数轴上的一个点表现 。实数可以持续变更,就是说点可以在数轴上持续地活动 。
如整数由小到大的变更是跳跃式的,从整数1到整数2,中间没有任何整数;但有理数从1变到2,它们之间是密密麻麻的,跨过了许多分数,看上去找不到一段“空白”,中间似乎没有跳跃 。事实上有理数从l变到2并非持续地变更,因为中间跨过了许多无理数,如2的算术平方根 。
因此,有理数之间的“空白部分”加上无理数构成实数,实数就可以持续变更 。这种持续性可以说变量x从1变到2,意味着x要取遍1到2之间的一切实数 。
我们假想用一把剪刀剪断数轴,把数轴剪成两段,那么剪刀必定会剪在某个点上,即剪中了某一个实数 。如果剪刀只是剪在一个隙缝上,意味着实数就不是持续的 。
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这时候有读者会发生疑问,如果没有隙缝,那么应当剪在哪里呢?如果剪在某一个点上,那么这个点在哪半截数轴上呢?我们假设是从数轴点A处被剪断的,那么这个点不在左半截上,就在资源网右半截上 。因为点不可分割,同时不会消逝,所以不会两边都有,也不会两边都没有 。因此,不管把数轴从什么处所分成两半截,总有半截是带端点的,而另外半截没有端点 。从这个设想中我们可以体会到数轴、实数的持续性 。
如果资源网把全部负有理数放在一起组成甲聚集,所有正有理数组成乙聚集,则甲聚集无最大数,乙集也无最小数 。若从甲乙两个聚集之间剪一刀,就剪在缝里了 。然而在实数系中,这个缝就是用无理数弥补起来 。
这样把有理数分成甲、乙两部分,使乙中每个数比甲中每个数大,这种分法叫做有理数的一个戴德金分割,简称分割 。有理数的每个分割肯定一个实数 。有缝隙的分割肯定一个无理数,没有缝隙的分割肯定一个有理数 。这样树立实数系的办法是德国数学家戴德金(J.W.R. Dedekin资源网d,1831~1916)提出来的 。
我们把全部实数分成甲、乙两个非空聚集,如果甲聚集里任一个数a比乙聚集里的任一个数b都小,或者甲聚集里有最大数,或者乙集里有最小数,两种情形必居其一,有且只有一种,这就叫做实数的持续性 。
【如何理解实数的连续性 实数是什么】
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