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数学的起源以及如何发展起来 数学的起源( 三 )


但也有人认为这些动物没有数字的象征意义 。相反，他们要经过上千次的训练，才能通过联想学会数字 。这和训练动物做它们在野外做不到的事情没什么区别 。比如在自然状态下，让一头大象单腿戴着滑稽的帽子站在凳子上是不可思议的，但训练后做这样的事情也就不足为奇了 。
然而，越来越多的证据表明，动物在自然状态下也能表现出“计数”的能力 。20世纪90年代初，人们观察到狮子可以区分一只狮子和三只狮子的吼声 。在2017年2月的一次会议上，研究人员还报告说，一些青蛙在择偶时听到竞争青蛙的叫声时，会在叫声数量上与竞争对手竞争 。
这些发现表明，动物确实有一种接近“数睡眠”的本能 。换句话说，这种本能是人类和许多其他动物共有的 。
数学的本质在下一部分
“数学是自然的语言”
今天，人类已经建立了一个巨大的数学金字塔 。在过去的5000年左右的时间里，数学扩展到了一个更加抽象的领域，这似乎进一步脱离了对周围现实世界和普通人的理解 。
然而，我们对宇宙的秘密了解得越多，数学上的新发明就越能描述这些秘密 。例如，当戴维·希尔伯特开发了一个高度抽象的代数来处理无限维，而不是熟悉的空三维时，没有人能预见到这个代数可以应用于量子力学 。但很快就证明了希尔伯特的数学——所谓的“希尔伯特空房间”——是我们理解神秘量子世界的关键 。
数学和物理之间这种无处不在的联系，让我们想起了几个世纪前伽利略说过的“数学是自然的语言” 。数学几乎是当今从事自然科学研究的人们必不可少的工具 。就连长期抵制数学的生物学也在慢慢屈服:人们见证了数学在基因组学或神经科学中的广泛应用 。比如DNA双螺旋结构的发现，就离不开一个叫做傅立叶分析的数学工具 。神经生物学越来越依赖数学学科，如拓扑学和图论 。
数学本身的辉煌成就及其在现实中无处不在的应用，导致一些人产生了“自大”的看法:数学就是一切，一切就是数学；宇宙是一个数学结构，它只有数学性质 。这种观点呼应了古希腊毕达哥拉斯学派“万物皆数，数是万物之源”的神秘思想 。
是数学发现还是发明？
历史上，人们曾问“数学是发明还是发现？”发生了激烈的争论 。按照“数学就是一切”的观点，数学显然是“发现”而不是“发明”，因为它已经存在于那里，而我们所做的一切都是发现 。
但事情可能没那么简单:当被问及“数学是被发明还是被发现的？”有时候，人们往往有一个先入为主的前提，好像它们是相互排斥的 。如果你发明了它，你就不会发现它，等等 。但这不是非此即彼的命题 。
想一想古希腊数学家欧几里德编写的《几何的要素》，它汇集了古希腊所有的数学知识，编制了一系列的几何定律 。欧几里德把他的工作建立在一系列公理之上 。这些公理既不能证明，也不能证伪 。我们只能说它们是“发明”出来的 。最著名的是平行线公理:两条平行线永不相交 。随着时间的推移，从这些公理中衍生出了许多规则和关系，并被后人证明为定理 。从某种意义上说，他们“发现”了欧几里得几何的景观 。
但是几千年后，一些数学家决定用新的公理来发现新的几何王国 。这些新公理与欧几里得公理相矛盾 。例如，以德国数学家黎曼命名的黎曼几何，显然依赖于“平行线可以相交”的思想 。这个非正统的起点将我们引向一个广阔的数学世界，爱因斯坦曾用它来阐述他的广义相对论 。
数学能解释它的起源吗？
然而，无论我们从哪一套公理出发，数学可能都不是我们想象中的完整的思想体系 。为此，我们归功于奥地利逻辑学家哥德尔的不完全性定理所提供的洞察力 。哥德尔证明了在任何形式的公理和定理体系中，都有一些既不能证明对也不能证明错的陈述 。换句话说，数学可以问一些问题，但它永远不能回答它们 。比如欧几里得几何中的“平行线永不相交”，欧几里得几何体系本身无法提供证明 。我们只能说，“让我们假设它是正确的，让我们看看结果会是什么……”
在这种情况下，说数学是普遍真理可能还为时过早 。因为真理是对的，你不能说“假设它是对的”(比如上帝存在，他就存在，不存在，他就不存在，你不能说“假设他存在”) 。再者，人类迄今为止建立的数学体系，可能只是“数学丛林”的一个小角落 。谁能保证它代表整个宇宙？
目前，意识是否可以完全用数学来描述，是数学面临的一个非常大的挑战 。我们知道，数学本身就是人类意识的产物 。现在，反过来，我们必须用它来解释意识，这意味着我们必须用数学来解释我们自己的起源 。有能力吗？如果你能解释，那就算了；如果你不能，你会有大麻烦的 。既然连数学这种自然的语言都无法解释意识，那么意识还能解释什么呢？或者反过来，它迫使我们问:“数学真的是自然的语言吗？”


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