Logistic Regression：最基础的神经网络 _神经网络

SimpleAI.
人工智能、机器学习、深度学习还是遥不可及？来这里看看吧~

文章插图

从基本的概念、原理、公式，到用生动形象的例子去理解，到动手做实验去感知，到著名案例的学习，到用所学来实现自己的小而有趣的想法......我相信，一路看下来，我们可以感受到深度学习的无穷的乐趣，并有兴趣和激情继续钻研学习。
正所谓 Learning by teaching，写下一篇篇笔记的同时，我也收获了更多深刻的体会，希望大家可以和我一同进步，共同享受AI无穷的乐趣。
Logistic回归：最基础的神经网络

?
个人认为理解并掌握这个logistic regression是学习神经网络和深度学习最重要的部分，也是最基础的部分，学完这个再去看浅层神经网络、深层神经网络，会发现后者就是logistic重复了若干次（当然一些细节会有不同，但是原理上一模一样）。

一、什么是logictic regression下面的图是Andrew Ng提供的一个用logistic regression来识别主子的图片的算法结构示意图：

文章插图

「左边」的「x0到x12287「是输入（input），我们称之为」特征（feather）」，常常用「列向量x(i)「来表示（这里的i代表第i个训练样本,下面在只讨论一个样本的时候，就暂时省略这个标记，免得看晕了-_-|||），在图片识别中，特征通常是图片的像素值，把所有的像素值排成一个序列就是输入特征，每一个特征都有自己的一个」权重（weight）」，就是图中连线上的「w0到w12287」，通常我们也把左右的权重组合成一个「列向量W」。
「中间的圆圈」，我们可以叫它一个神经元，它接收来自左边的输入并乘以相应的权重,再加上一个偏置项b（一个实数），所以最终接收的总输入为：
但是这个并不是最后的输出，就跟神经元一样，会有一个「激活函数（activation function）「来对输入进行处理，来决定是否输出或者输出多少。Logistic Regression的激活函数是」sigmoid函数」，介于0和1之间，中间的斜率比较大，两边的斜率很小并在远处趋于零。长这样（记住函数表达式）：

文章插图

我们用来表示该神经元的输出，σ()函数代表sigmoid，则可知：
这个可以看做是我们这个小模型根据输入做出的一个预测，在最开始的图对应的案例中，就是根据图片的像素在预测图片是不是猫。与对应的，每一个样本x都有自己的一个真实标签，代表图片是猫，代表不是猫。我们希望模型输出的可以尽可能的接近真实标签，这样，这个模型就可以用来预测一个新图片是不是猫了。所以，我们的任务就是要找出一组W，b，使得我们的模型可以根据给定的，正确地预测。在此处，我们可以认为，只要算出的大于0.5，那么y'就更接近1，于是可以预测为“是猫”，反之则“不是猫” 。
以上就是Logistic Regression的基本结构说明。
二、怎么学习W和b前面其实提到过了，我们「需要学习到的W和b可以让模型的预测值y'与真实标签y尽可能地接近，也就是y'和y的差距尽量地缩小」。因此，我们可以定义一个「损失函数（Loss function）」，来衡量和y的差距：
实际上，这就是交叉熵损失函数，Cross-entropy loss 。交叉熵衡量了两个不同分布之间的差距，在这里，即衡量我们预测出来的分布和正式分布之间的差距。
如何说明这个式子适合当损失函数呢？且看：

当y=1时，，要使L最小，则要最大，则=1；
当y=0时，，要使L最小，则要最小，则=0.

如此，便知符合我们对损失函数的期望，因此适合作为损失函数。
我们知道，x代表一组输入，相当于是一个样本的特征。但是我们训练一个模型会有很多很多的训练样本，也就是有很多很多的x，就是会有x(1)，x(2)，...，x(m) 共m个样本（m个列向量），它们可以写成一个X矩阵：
对应的我们也有m个标签，：
通过我们的模型计算出的也会有m个：
前面我们写的损失函数，只计算一个样本的损失。但我们需要考虑所有训练样本的损失，则总损失可以这样计算：
有了总体的损失函数，我们的学习任务就可以用一句话来表述：
“寻找w和b，使得损失函数最小化”
最小化。。。说起来简单做起来难，好在我们有计算机，可以帮我们进行大量重复地运算，于是在神经网络中，我们一般使用「梯度下降法（Gradient Decent）」：