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超越维度：在实验室中模拟四维物理学( 三 )

四维


 
尽管二维和三维量子霍尔效应是在固体材料中观察到的，如果要将更高维度的物理学带入实验室，则需要超越固体材料的范畴，考虑其他更可控的平台 。
 
许多拓扑特性虽然最初与电子输运联系起来，现在反而被理解为源于能带理论和普通的波物理学 。[5]换句话说，拓扑数，如第一陈数，也适用于超冷原子、经典光波、机械振荡和海洋表面的波，这里只列举一些可能性 。
 
直观上，经典波或无相互作用的玻色子不应该被称为拓扑绝缘体，因为如果没有泡利不相容原理或其他效应来填充能带中的态，这些系统就不会是通常意义上的绝缘体 。然而，目前的惯例是，只要物理是从具有良好定义的拓扑数的能带中导出，就使用拓扑绝缘体这个名词 。[5]
 
探测非电子系统的拓扑物理学需要不同的实验方法，因为这些系统不再具有霍尔电导中鲁棒的量子化平台 。对于基于波的系统，最重要的实验特征通常是存在局域于系统表面的鲁棒振动模式，处于禁止穿透块体的频率 。在这些情况下，对于一个给定的频率，波可以在表面传播，但不能在块体内部传播，如图1所示 。这种拓扑保护可能有朝一日对诸如光子学器件在内的应用非常有用，因为它提供了一种方法，可以鲁棒地引导光绕过在器件制造过程中引入的任何无序和缺陷 。[5]
 
向非电子平台的扩展也有利于对拓扑现象的研究 。其中许多平台比真实的材料更容易调控，因此使科学家们能够在目前固体物理学可研究的范围之外进行探索 。[5]作为推动工作的一部分，研究人员已经发展了模拟额外维度的实验技巧，部分原因是为了探测高维拓扑绝缘体 。三个主要的方法是拓扑泵（topological pumping）、连接（connectivity）和人工维度（synthetic dimensions），尽管其他方案也在开发中 。
 
方法1：拓扑泵
最早但也许是最抽象的模仿高维度的技巧之一是拓扑泵（topological pumping） 。这个概念由 Thouless 作为实现二维量子霍尔效应的一种方法在1981年首次提出 。他预测，缓慢地调整某些类型的一维量子系统的参数可以鲁棒地在系统中泵送粒子 。[1]
 
最简单的例子从一种绝缘体开始，其中粒子占据一维周期势阱链的每个极小值 。如果整体电势的空间位置被缓慢地调整，使整个晶体沿着链滑动，那么由此产生的最小值点的运动就会拖动粒子与其一起运动 。Thouless 不仅计算出这种鲁棒的粒子输运是一个拓扑不变量的产物，而且该不变量与二维量子霍尔效应中的二维拓扑数（第一陈数）相同 。这一结果表明，从某种意义上说，一维拓扑泵是二维量子霍尔效应的动态版本，这一点后来已在实验中得到探索 。
 
从一维到二维似乎与高维物理学相去甚远 。但在2013年，以色列魏茨曼科学研究所的Yaacov Kraus、英国牛津大学的Zohar Ringel和苏黎世联邦理工学院的Oded Zilberberg预测，二维拓扑泵与四维量子霍尔效应的四维拓扑数（第二陈数）有关 。[4]
 
该预言在2018年 Zilberberg 领导的两个补充实验中被证明是正确的 。一个是他与宾夕法尼亚州立大学的 Mikael Rechtsman 团队在光子学体系中进行；另一个是与德国马克思·普朗克量子光学研究所和慕尼黑大学的 Immanuel Bloch 团队以及我在伯明翰大学的合作者在冷原子体系中完成的[7] 。这些实验分别在光在波导阵列边缘的传播和原子在系统中的净运动中发现了四维量子霍尔效应的特征，后来又被其他课题组推广到声学平台上 。
 
拓扑泵有许多内在的限制，因为它本质上是一种数学技巧，基于巧妙的方法切割更高维模型 。实际上，粒子只能在低维系统中移动，而不具有足够的高维自由度 。通过其他类型的实验方案，可能实现更接近真实的高维系统 。
 
方法2：电路连接
模拟更高空间维度的第二种方法是基于连接的概念，这可以从离散晶格模型开始理解 。在这些模型中，粒子只能存在于一组晶格位点上 。这些格点可以表示为分布在空间中的一组离散的点，如图4所示 。根据模型的具体情况，粒子可以在成对的格点之间跳跃，如虚线所示 。这种离散的晶格模型是真实系统的常见近似，包括电子在固体材料中移动和电流在电路中移动 。它们还可以识别和分离现象的基本组成成分 。
 

超越维度：在实验室中模拟四维物理学

文章插图
图4. 更高维的格子可以在低维系统中构建 。在左边，一个二维的离散晶格模型是由格点（圆圈）与连接（线）组成的 。如果保持相同的连接，相同的晶格可以有效地嵌入到一维中 。在右边，这种嵌入技巧被用来将四维晶格编码到这个三维电路板堆中 。


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