超越维度：在实验室中模拟四维物理学( 二 ) _四维

顾名思义，二维量子霍尔效应（2D quantum Hall effect）本质上是一种二维现象，最早在高质量半导体异质结中移动的有效二维电子气体中被观察到。[1] 在他的开创性实验中，von Klitzing将硅基异质结暴露在低温和向外的强磁场中，然后让电流流过装置，测量其两端的电压以找到霍尔电导。他的发现令人出乎意料：霍尔电导表现为稳定的平台，被 /? 的整数倍精确量子化，其中是电子电荷，?是普朗克常量。事实上，这种量子化足够的鲁棒和精确，后来成为2019年国际单位制中对千克的新定义的一部分。

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图2. 霍尔电导和磁场的关系。可以看到，霍尔电导表现为稳定的平台，被 /? 的整数倍精确量子化。| 图片来源：Klaus von Klitzing/1985 Nobel Lecture

1982年，西雅图华盛顿大学的 David Thouless 和他的同事证明，二维量子霍尔效应的起源在于电子能带的拓扑性质。这一认识在一定程度上是 Thouless 获得2016年诺贝尔物理学奖的原因。霍尔电导中的整数与称为第一陈数的二维拓扑数有关，其保证了材料边缘周围存在拓扑电流[1]（见图1）。换句话说，二维量子霍尔系统是现在被称为拓扑绝缘体的一个例子，霍尔电导的鲁棒性是其关键实验特征之一。

方框1：沿着边缘的跳跃
二维量子霍尔边缘电流的起源是什么？经典的情况是，当一个受限于二维运动的带电粒子受到一个向外的磁场B时，会在块体中产生封闭的旋转轨道（深蓝色圆圈），但沿着盒子的边界（浅蓝色箭头）会产生单向跳跃。即使边界变形，这些跳跃的轨道也会沿着磁场的方向继续移动。在量子力学情形下，这种行为转化为拓扑绝缘体特有的绝缘体态能带和鲁棒的导电边缘态。

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图3. 二维量子霍尔效应示意图。
在发现二维量子霍尔效应后，理论物理学家提出，某些三维材料也具有以第一陈数为特征的能带，但在这种情况下，陈数是三元数组：其中每个数对应于三维材料的三个笛卡尔平面。理论上的三维量子霍尔效应于2019年在五碲锆晶体中通过实验观察到。[2]但三维量子霍尔效应通常被称为弱拓扑现象，因为关键特性（例如第一陈数）本质上仍然是二维概念，即使系统是三维的。因此，由此产生的拓扑行为有时可能不太鲁棒。

然而，在四个空间维度的情形下，一种在根本上不同的量子霍尔效应由瑞士苏黎世联邦理工学院的 Jürg Fröhlich 和 Bill Pedrini，以及斯坦福大学的张首晟和胡江平在21世纪初独立提出。[3]该四维量子霍尔效应具有与二维霍尔效应不同的量子化霍尔电导形式，并且与一个称为第二陈数的四维拓扑不变量有关，该不变量产生了三维导电表面体积，如图1所示。

迄今为止，科学家已经提出了各种四维量子霍尔模型。[3-5]有些模型类似于二维量子霍尔效应，描述磁场中的带电粒子。其他模型，如张首晟和胡江平的模型，利用杨-米尔斯规范场（Yang–Mills gauge field）的物理，如方框2所解释的，并从粒子物理学中汲取灵感。[6]

方框2. 奇异的单极子
一种考虑拓扑泵（topological pumping）的方式是，它用外部控制的参数取代了哈密顿量中的一些真实空间维度。但是如果所有的空间维度都被换成了外部控制的参数，那么就不需要真实的空间自由度来模拟更高的维度了。

2018年，Seiji Sugawa、Ian Spielman 和他们在联合量子研究所和马里兰大学的同事使用了这种类型的方法。受张首晟和胡江平关于四维量子霍尔效应的工作启发，[4]研究人员在一个有效的五维参数空间中，通过耦合原子量子气体的四个内部状态，实验模拟了所谓的杨氏单极子（Yang monopole）。[16]与保罗·狄拉克（Paul Dirac）假定假想的磁单极子是磁场的来源类似，杨氏单极子被提议作为五维的杨-米尔斯规范场的来源。Sugawa、Spielman和他们的同事确定了模拟单极子的性质，并验证了它可以被第二陈数加以区分，正如预测的那样。

最近，在2020年，类似的实验方法已经模拟了所谓的四维张量单极子（tensor monopole），它被假设为张量规范场的来源，其特征是一种称为 Dixmier-Douady 不变量的奇异拓扑数[14] 。
四维量子霍尔效应并不是故事的终点。在过去20年里，其他的量子霍尔效应已经在六维和八维系统中被预测，许多其他的二维和三维拓扑绝缘体也已经被发现，它们需要除陈数之外的拓扑不变量。[1] 将物质的拓扑相划分为任意空间维数的数学分类也表明，其他更高维度的现象正等待被发现。[6]