为什么你学不会递归？( 二 ) _递归

1int f(int n){2 if(n <= 2){3 return 1;4 }5}第三要素：找出函数的等价关系式
题目已经把等价关系式给我们了，所以我们很容易就能够知道 f(n) = f(n-1) + f(n-2) 。我说过，等价关系式是最难找的一个，而这个题目却把关系式给我们了，这也太容易，好吧，我这是为了兼顾几乎零基础的读者。
所以最终代码如下：
1int f(int n){2 // 1.先写递归结束条件3 if(n <= 2){4 return n;5 }6 // 2.接着写等价关系式7 return f(n-1) + f(n - 2);8}搞定，是不是很简单？

零基础的可能还是不大懂，没关系，之后慢慢按照这个模式练习！好吧，有大佬可能在吐槽太简单了。

案例2：小青蛙跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

1、第一递归函数功能
假设 f(n) 的功能是求青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法，代码如下：
1int f(int n){23}2、找出递归结束的条件
我说了，求递归结束的条件，你直接把 n 压缩到很小很小就行了，因为 n 越小，我们就越容易直观着算出 f(n) 的多少，所以当 n = 1时，你知道 f(1) 为多少吧？够直观吧？即 f(1) = 1 。代码如下：
1int f(int n){2 if(n == 1){3 return 1;4 }5}第三要素：找出函数的等价关系式
每次跳的时候，小青蛙可以跳一个台阶，也可以跳两个台阶，也就是说，每次跳的时候，小青蛙有两种跳法。
第一种跳法：第一次我跳了一个台阶，那么还剩下n-1个台阶还没跳，剩下的n-1个台阶的跳法有f(n-1)种。
第二种跳法：第一次跳了两个台阶，那么还剩下n-2个台阶还没，剩下的n-2个台阶的跳法有f(n-2)种。
所以，小青蛙的全部跳法就是这两种跳法之和了，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2) 。至此，等价关系式就求出来了。于是写出代码：
1int f(int n){2 if(n == 1){3 return 1;4 }5 ruturn f(n-1) + f(n-2);6}大家觉得上面的代码对不对？
答是不大对，当 n = 2 时，显然会有 f(2) = f(1) + f(0) 。我们知道，f(0) = 0，按道理是递归结束，不用继续往下调用的，但我们上面的代码逻辑中，会继续调用 f(0) = f(-1) + f(-2) 。这会导致无限调用，进入死循环。
这也是我要和你们说的，关于递归结束条件是否够严谨问题，有很多人在使用递归的时候，由于结束条件不够严谨，导致出现死循环。也就是说，当我们在第二步找出了一个递归结束条件的时候，可以把结束条件写进代码，然后进行第三步，但是请注意，当我们第三步找出等价函数之后，还得再返回去第二步，根据第三步函数的调用关系，会不会出现一些漏掉的结束条件。就像上面，f(n-2)这个函数的调用，有可能出现 f(0) 的情况，导致死循环，所以我们把它补上。代码如下：
1int f(int n){2 //f(0) = 0,f(1) = 1，等价于 n<=2时，f(n) = n 。3 if(n <= 2){4 return n;5 }6 ruturn f(n-1) + f(n-2);7}有人可能会说，我不知道我的结束条件有没有漏掉怎么办？别怕，多练几道就知道怎么办了。
看到这里有人可能要吐槽了，这两道题也太容易了吧？？能不能被这么敷衍。少侠，别走啊，下面出道难一点的。

下面其实也不难了，就比上面的题目难一点点而已，特别是第三步等价的寻找。

案例3：反转单链表。

反转单链表。例如链表为：1->2->3->4 。反转后为 4->3->2->1

链表的节点定义如下：
1class Node{2 int date;3 Node next;4}虽然是 JAVA语言，但就算你没学过 Java，我觉得也是影响不大，能看懂。
还是老套路，三要素一步一步来。
1、定义递归函数功能
假设函数 reverseList(head) 的功能是反转但链表，其中 head 表示链表的头节点。代码如下：
1Node reverseList(Node head){23}2. 寻找结束条件
当链表只有一个节点，或者如果是空表的话，你应该知道结果吧？直接啥也不用干，直接把 head 返回呗。代码如下：
1Node reverseList(Node head){2 if(head == null || head.next == null){3 return head;4 }5}3. 寻找等价关系
这个的等价关系不像 n 是个数值那样，比较容易寻找。但是我告诉你，它的等价条件中，一定是范围不断在缩小，对于链表来说，就是链表的节点个数不断在变小，所以，如果你实在找不出，你就先对 reverseList(head.next) 递归走一遍，看看结果是咋样的。例如链表节点如下