数学|浙大哈佛剑桥学者联手破解数学界几十年的谜题！成果登上数学顶刊( 二 )
这样 ， 椭圆曲线就和动力系统联系起来了 ， 有限轨道点便是椭圆曲线上挠点的模拟 。
叶和溪的导师DeMarco说：“椭圆曲线上的挠点与某个动力系统的有限轨道点相同 ， 这就是我们在论文中反复使用的内容 。”
证明数学猜想
但这三位数学家研究的问题——Manin-Mumford猜想——比上面复杂得多 。
Manin-Mumford猜想是比椭圆曲线更复杂的曲线 ， 例如y^2 = x^6 + x^4 + x^2 ?1 ， 每个不同参数的曲线都与一个几何体关联 。
Manin-Mumford猜想于1983年被Raynaud证明 ， 即亏格（genus）大于1的任意光滑代数曲线上至多只有有限个挠点 。
对于封闭的有向曲面而言 ， 亏格就是曲面的“洞”数量 。
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椭圆曲线对应的几何体是亏格为1的“甜甜圈” 。
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叶和溪等人将Manin-Mumford猜想又推进了一步 ， 他与Holly Krieger、Laura DeMarco一起 ， 结合动力系统证明了 ， 在亏格为2的情况下 ， 光滑代数曲线挠点数量不仅有限 ， 而且具有一致上界 。
与椭圆曲线不同的是 ， Manin-Mumford猜想中的复杂曲线不具备允许做加法的结构 。
但是它们对应的几何体却都可以做加法 ， 而且像椭圆曲线一样具有挠点 。
他们给出了待求的特定曲线簇的解的形状：像是两个甜甜圈的表面（亏格为2） 。
其中 ， 每个“甜甜圈”代表一个椭圆曲线 。
而要证明挠点数量的上限 ， 就需要计算出椭圆曲线上挠点之间的相交点数量 。
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然而这两条椭圆曲线上的挠点不可能直接比较 ， 因为它们不一定重叠 。
几位学者想出了一种方法：比较它们是否在“甜甜圈”上各自处于相同的相对位置 。
他们将两条椭圆曲线的解各自绘制在一张平面图上 ， 以此来比较挠点的位置 。
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接下来 ， 只需要计算这些点重叠的次数 ， 就能给Manin-Mumford猜想一个明确的上界了 。
这里 ， 便是动力系统需要发挥作用的地方 。
他们利用动力系统 ， 证明了这些点只能重合特定的次数 ， 而且这一次数确实存在——即Manin-Mumford猜想的上界确实存在 。
对于他们的证明 ， 来自加拿大约克大学的助理教授Patrick Ingram表示：
他们成功证明了一个特殊问题 。此前 ， 这个问题一直被归类于数论中 ， 没人认为它与动力系统有关 。这确实引起了极大的轰动 。
与导师旧友一同解决重要猜想
事实上 ， 猜想证明背后的三位学者 ， 彼此也是导师与旧友的关系 。
这其中 ， 叶和溪与论文作者Holly Krieger ， 都曾经是Laura DeMarco的学生 。
2013年 ， 他们在后者的指导下 ， 获得了伊利诺伊大学芝加哥分校的博士学位 。
在这之后 ， Laura DeMarco如今已是哈佛大学教授 ， 而Holly Krieger也已经成为一名剑桥大学的数学讲师 。
叶和溪则选择了回国 ， 成为浙江大学的数学系研究员 。
但这期间 ， 他们并未停止共同研究的步伐 。
2017年 ， 叶和溪就曾与Laura DeMarco、Holly Krieger一起 ， 研究了动力系统中有界高度的问题 ， 成果于2019年发表 。
而在2019年 ， 继证明Manin-Mumford一致猜想之后 ， 他们也对动力系统中的另一个问题进行了深入探讨 ， 并采用了类似的研究方法 。
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目前 ， 这篇文章以预印本的形式发表 。
2020年4月15日 ， 他们证明的Manin-Mumford一致猜想 ， 最终成功刊登在《数学年刊》上 。
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