招生|1道北大附中招生题：解方程，学霸用换元法快速搞定
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国内目前有一个现象：考高中比考大学更难 。 虽然要考上重点大学难度还是非常大 ， 但是大学的综合录取率却已经超过了80％ ， 可是现在却只有接近一半的学生才能上高中 ， 包括重点高中和普通高中 。 所以能够上一所好的高中 ， 几乎意味着有一只脚已经踏进了大学的门槛 ， 正因如此 ， 家长才会想方设法将孩子送到重点学校学习 。
今天和大家分享一道全国重点中学——北大附中的自主招生考试题：解方程 。 家里有初中生的可以让孩子看看这道题 ， 用来检验孩子知识掌握程度的同时也可以看看孩子距离这些名校还有多大的差距 。
【招生|1道北大附中招生题：解方程，学霸用换元法快速搞定】下面一起来看一下这道题 。
咋看之下 ， 这道题的难度还是不小的 ， 因为出现了四次方的形式 ， 如果要直接展开 ， 那么计算量就会变得非常大了 。
这道题实际上也可以看成双根号方程的问题 ， 所以完全可以用换元法求解 。
令√x-2=a ， √x-3=b ， 那么就有a^4+b^4=2 ， 且a-b=1 。 先将a-b=1两边平方 ， 整理后可以得到a2+b2=1+2ab 。 然后再两边平方 ， 此时可以得到a^4+b^4的形式 ， 然后解出a、b的值或者关系 。
接着再分类讨论a、b的值 ， 从而得到x的值 。
上面的解法中 ， 用到的实际上是双换元法 ， 也就是说换了两个字母进去 。 那么用单换元法可以求解吗？
当然可以 。
比如令√x-2=m ， 则√x-3=m-1 ， 所以可以得到m^4+(m-1)^4=1 ， 只要将(m-1)^4展开就得到关于m的方程 。
四次方如何展开呢？一是先算平方 ， 然后再算一次平方 ， 即(m-1)^4转化成[(m-1)2
2；二是直接利用杨辉三角展开 。
杨辉三角是算二项展开式系数的重要方法 ， 只需要利用杨辉三角“两条斜边上的数字都是1 ， 其他数字都是其肩上两数字的和”就可以快速将这个四次方的式子展开 。
四次方展开后再合并同类项、分解因式 ， 然后求出m的值 。 在分解因式m3-2m2+3m-2时 ， 可以用立方差公式也可以用试根后整式相除来进行 。 分解因式这一步对于一些同学来说也是难度比较大的 。
求出m的值后 ， 再分类讨论m的值 ， 从而得到x的值 。
从上面的解题过程可以看出 ， 遇到双根号问题 ， 双换元法也许比单换元法做起来更简单 ， 不少学霸也是用双换元法快速搞定了 。
因为此题是一道初升高的题目 ， 所以只是求出了在实数范围内的解 ， 复数解没有计算 。
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