健康险精算师必读系列 | 凯利公式简介及其应用
很多人在做投资时都会考虑一个问题：当期望收益为正时 ， 需要投入多少资本以获得最大收益 ， 若期望收益为负 ， 又是否仍然要投入资本“搏一搏”呢？本文以凯利公式为基础 ， 介绍凯利公式在离散投资、连续投资、股市应用以及对健康险博弈的应用 。
在离散投资上 ， 首先考虑最简单的掷硬币形式 。 假设你与一个具有无穷财富的人进行重复的掷硬币游戏 ， 且硬币落向稳定偏向你猜的那一面 。 也就是说 ， 假设你赢的概率恒为p且p大于0.5 ， 输的概率为q且q=1-p 。 此时赢的次数的期望值要高于输的次数的期望值 。
这里有一个问题 ， 即每次投入多少成本才能够实现利润的最大化 。 设想两个极端的情况 ， 如果每次都投入所有资产 ， 那么n次后破产的概率为1-pn,当n趋近于无穷大时 ， 有
可以说如果每次投入所有财产 ， 那么在足够多的次数之后 ， 破产是必然的 。 相反 ， 如果我们投入的财产为0 ， 则财产永远不会发生变动 。 因此 ， 需要一种方法来确定投入多少资产时 ， 能够获得最大收益 。
【健康险精算师必读系列 | 凯利公式简介及其应用】假设X0为起始资产 ， Xn为n轮之后的资产 ， 这里设定f为每次投资的固定比例 ， 0<=f<=1 。 即在第i轮的游戏中 ， 使用资产Xi的f倍进行游戏 。 此外 ， 设S和F分别为N次游戏后成功次数和失败次数 。 那么Xn和X0的关系为Xn=X0*(1+f)s*(1-f)F,其中S+F=N 。 将该公式进行一定变换 ， 有：
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凯利选择最大化资产的指数增长率 ， 设期望的指数增长率为G(f) ， 有：
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需要注意的是 ， G(f)=(1/n)*E(logXn)-(1/n)*logX0,由于n和X0是固定的 ， 因此最大化G(f)即为最大化E(logXn) 。 对G(f)求导 ， 有：
解方程得到f=p-q ， 对G(f)进行二次求导显示：
该公式证明了G’(f)在f=[0,1]时单调递减 ， 当f
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在许多投资中 ， 结果的可能性都是有限的 。 但是在数学上 ， 拟合有限个连续分布模型是比较方便的 。 假设一个投资者投资了100元买了一只股票 ， 这只股票在一年内会呈[30,200]的均匀分布 。 通货膨胀、中介费、税款等均忽略不计 。 则每个单位的赌注为dF(s)=UA(s)ds ， 其中A=[-7/10,1] ， F是对应的概率分布 。 从公式可以看出 ， 该分布的期望值为0.15 ， 此时G(f)为：
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得到f=0.63 ， 因此 ， 在该例子中 ， 投资者使用63%的资本可以得到最高的指数增长率 。
当期望收益为负(p<0.5)时 ， 凯利公式的结论是长期来说不赌为赢 。
凯利公式在现实中被经常应用 。 数学家爱德华索普曾多次应用凯利公式于拉斯维加斯赌场与股市中 ， 均取得了较大的收益 ， 其著作《打败庄家》也被许多学生所追捧 。 同时 ， 凯利公式在健康险方面也具有一定的指导意义 。 对于一个健康险的潜在购买者 ， 购买健康险支出的保费可以看作为该被保人在健康方面的投资 ， 而自身的健康水平以及健康险本身的保障范围则影响着被保人的投资回报 。 应用凯利公式建立更完善的体系 ， 可以帮助被保险人在其本身的财务能力和健康水平下 ， 选择相对最合适的保障范围和保费水平的健康险产品 。 甚至对于一些收入过低且健康水平较高的人来说 ， 不购买健康险是更好的选择 。
参考文献：
RotandoLM,ThorpEO.TheKellyCriterionandtheStockMarket[J].
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