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寻美食|数学与逻辑是什么关系？数学需要什么样的逻辑？


先来一个段子 。
A：不听白叟言 ， 吃亏在面前 。
B：吃亏是福 。
C：综合A和B得出结论 ， 不听白叟言 ， 福在面前！
作为一个孝敬的宝宝 ， 是不是感觉很有道理 ， 要顶撞的动机是不是蠢蠢欲动！别急 ， 慈爱的长辈有话说！
寻美食|数学与逻辑是什么关系？数学需要什么样的逻辑？
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三段论
演绎法和归纳法是推理的两种形式 ， 演绎法是由一般到特殊的推理 ， 其主要形式就是包含三部门的三段论法：一个有一般判定的大前提；一个有特殊判定的小前提；一个结论 。 而三段论演绎法的正确性依赖于大小条件的正确性和包含性 ， 即两个条件均准确的话 ， 结论就是毋庸置疑的 。 就好比上面的段子：不听白叟言 ， 吃亏在面前是大概率的经验性的 ， 不具备真理性 ， 白叟也出错啊！上面的A和B也不是包含关系啊 ， 可能会有交集 。 所以结论是不成立的啦 。
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数学与逻辑
古希腊数学的发展 ， 经由亚里士多德和欧几里得等人的努力 ， 同比较完善的形式逻辑体系结合起来 ， 成为一门演绎科学 。 在所有的知识体系中 ， 数学好像成为逻辑性最强的一门学科 。 逻辑思维是数学证实的工具 ， 是使数学知识理论系统化的手段和数学发现的引导 。 数学离不开逻辑 。 反过来 ， 现代逻辑的发展完全得力于数学的发展 。 不了解现代数学的背景就不可能正确地掌握现代逻辑的脉络 。 逻辑主义的代表人物罗素曾经以为：
逻辑即数学的青年时代 ， 数学即逻辑的丁壮时代 ， 青年与丁壮没有截然的分界线 ， 故数学与逻辑亦然 。
固然逻辑与数学不能混为一谈 ， 但两门学科之间确有盘根错节、水乳交融、难解难分的关系 。
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同时很多逻辑范畴内的题目 ， 用逻辑方法很难说得清晰 ， 但将其转化为数学题目后 ， 就变得简单明了 。 例如个别与一般的关系 ， 在历史上曾长期纠缠不清 ， 在两千多年的历史时期内 ， 一直成为哲学家争论的课题 。 而集合论观点的引入 ， 使得题目得到解决 。
传统逻辑的缺陷
亚里士多德的逻辑处理的是动词“是”的肯定或否定关系 ， 形式是“三段论" ， 笛·摩根指出了这种逻辑中存在着缺陷 ， 还夸大逻辑必需处理普遍意义上的关系 。 传统逻辑主要限于主宾式语句和三段论 ， 因此会有一些缺陷：
日常思维领域里 ， 一些常见的关系命题、推理 ， 无法简朴地归结为主宾式；主宾式语句的限制 ， 很难体现某些量词的实质 ， 而只是反映次要性质 。 尤其是数学命题中量词是不可缺少的 ， 只用传统逻辑的全称或特称判定都很难表述出来；停留在自然语言上的传统逻辑 ， 没有专门的逻辑符号 ， 而自然语言具有多义性、不够精确 ， 不具有演算性质 ， 就不能把推理转化为演算 ， 易泛起“狡辩”；好比含混不清的指代 ， 需要上下文去判定 ， 而这是严密的逻辑思维所不能接受的 。
寻美食|数学与逻辑是什么关系？数学需要什么样的逻辑？
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基于上述3个原因 ， 传统逻辑须加以改造和发展 ， 于是人们利用数学思惟来研究和发展逻辑 ， 对其进行多视角的透视、立体化的探索 ， 逐渐创建了数理逻辑 。 数理逻辑对推理形式结构的研究 ， 采用了符号化、形式化、公理化等数学方法：把推理转化为演算 ， 从而克服了传统逻辑的种种缺陷 。
【寻美食|数学与逻辑是什么关系？数学需要什么样的逻辑？】数理逻辑
最早设想把数学用于逻辑的是笛卡尔和莱布尼茨 ， 莱布尼茨这样描述他的设计：
普通的数学就比如是想象的逻辑 ， 应该能够论述“在想象范围内可精密确定的一切东西” ， 用这样的逻辑可以建立思惟的任何大厦 。
笛·摩根也从事过把逻辑符号化的研究 ， 并以提出了闻名的笛·摩根法则 。
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对逻辑代数跨出最重要一步的是英国数学教授布尔 ， 他确信语言的符号化会使逻辑严密 。 布尔的办法是从外延逻辑 ， 即类的逻辑开始 。 布尔相信 ， 人的头脑会根据一些记号当即作出一些初等的推理规则 ， 这些规则就是逻辑公理 。
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笛·摩根和布尔是改造亚里士多德逻辑的开创者 ， 使的逻辑逐渐离开哲学而靠近数学 。 到20世纪30年代后 ， 逻辑的数学化得到巨大发展 ， 并发展出一个新的数学分支——数理逻辑 。 作为一门成熟的学科 ， 包括了逻辑演算、证实论、集合的公理化理论、递归论和模型论等5个分支 。 其中逻辑演算是数理辑中最重要、最基本的部门 。
古典逻辑匡助了数学的建立和发展 ， 使数学建立在逻辑的基础上；反过来 ， 跟着数学的发展 ， 又匡助逻辑克服其自身的缺陷 ， 使逻辑数学化 。 它们相辅相成 ， 都得到了突飞猛进的发展 。


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