会笑的青豆|微积分从入门到精晓的第六关——横空出世的“非恒等变形”( 二 )
等价无穷小的非恒等变形的特征决定了其无法像恒等变形那样随心所欲 ， 必需接受“前提约束” ， 也就是说在使用等价无穷小代换的时候必需分子分母的无穷小都变成其等价的无穷小 ， 当然对于复杂的无穷小来说 ， 只变分子或者分母的时候 ， 另外一部分看似不变 ， 实在是恒等的 。 恒等肯定要优于等价的 。 所以说 ， 我们在0/0型使用等价无穷小代换的时候 ， 只能在“因式”情况下使用（实在这也是一种整体等价） ， 不能在和差中单独使用 。 比如说我们不能把sinx-x变换成x-x（x→0） 。 显然0（x-x）与任何一个无穷小都不等价 。
另外一类非恒等变形也是我们非常认识的 ， 就是“洛必达法则” 。 当我们碰到0/0或∞/∞类型的极限的时候 ， 假如我们尝试了恒等变形、变量替代和等价无穷小代换之后 ， 仍旧无法求出这个函数的极限 ， 假如这两个函数满意连续、可导的前提并且这两个函数的导函数比值的极限存在 ， 就可以使用洛必达法则了 。 这里留意最后一个前提是“后验”的 ， 我们求出导数比值的极限 ， 第三个前提就即是验证了 ， 假如比值的极限不存在 ， 就意味着不满意洛必达法则 ， 等号天然就不成立了 ， 这意味着导数比值的极限不存在也不能说原来两个函数比值的极限不存在 。
洛必达法则的作用不说大家都应该知道 ， 但是却不清晰其之所以便利是因为打破了“恒等变形”的枷锁束缚 ， 是f(x)/g(x)与f’(x)/g’(x)在不相等的情况下又保证了极限是相等的 ， 这个变形也可以归为“非恒等变形” ， 而且导数变形与等价无穷小的变形还有所区别 ， 等价无穷小无论怎么变总仍是无穷小 ， 还属于不决式的范畴 ， 而导数之后许多无穷小就不再是无穷小了 ， 也就意味着函数从0/0或∞/∞类型变成了其他的可以“直接代入”的类型
除了这两种非恒等变形之外 ， 还有一个非常重要的公式 ， 就是具有皮亚诺型余项的泰勒公式 ， 它把一个具有n+1阶导数的函数变成一个n次多项式与一个余项的和的形式 ， 这个n次多项式算得上是一个近似值形式 ， 但是假如加上皮亚诺型余项 ， 那为我们求极限或者近似计算中都将带来很大的便利 。 这种变形我们不能说是“非恒等变形” ， 究竟加上余项之后就相等了 ， 但是仅仅从形式上来看 ， 也可以说得上是“非恒等变形” 。
非恒等变形在数学中越来越重要 ， 其形式也非常多样 ， 好比等价无穷小中还有α+ο(α)~α(α是无穷小)的情形 。 还有不同的变化过程下的等价无穷小代换 。
【会笑的青豆|微积分从入门到精晓的第六关——横空出世的“非恒等变形”】在极限这部分理解“非恒等变形”的时候 ， 枢纽是要留意“过程”与“极限”的关系 ， 这告诉我们“殊途也有同归”的时候 。
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