会笑的青豆|微积分从入门到精晓的第六关——横空出世的“非恒等变形”
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数学的方法论的特征体现主要在于其独特的语言形式 ， 说是一门“形式”学科一点也不外分 。 数学中最常用的方法就是“变形” ， 也吻合了我们常说的“不通则变 ， 变则通 ， 通则达”的思惟 。
在中小学数学学习中庸的最多的“变形”则是“恒等变形” ， 不管是多项式的因式分解、有理函数的通分约分、无理式的有理化、幂函数的运算法则、对数函数的性质、指数函数的变换 ， 仍是让人眼花缭乱的三角恒等式 ， 都属于“恒等变形” ， 恰是恒等变形让我们对数学的确定性坚定不移 。
但是不得不说 ， 我们过去的视角太小 ， 老是把“部门”当做“整体” ， 许多恒等变形都有“前提”约束 ， 但是被我们视而不见 ， 比如说我们许多恒等式都是正数前提下才可以的 。 甚至学习函数由于恒等式的缘故 ， 我们太过于正视解析式 ， 而忽视了“定义域”的不同函数就不同了 。 这一点是我们进一步学习现代数学和方法论的很重要的关卡 ， 许多同学都无法挣脱“忽视定义域”的习惯 。
等我们学习极限的时候 ， 发现了许多和“恒等变形”不是很习惯的方法 ， 比如说“等价无穷小”代换 ， “洛必达法则” ， 采用的并非是我们熟知的“恒等变形” ， 我把这种变形叫做“非恒等变形”（当然等号两边仍是相等的） 。
我们都知道等价无穷小变换在求极限中非常常用 ， 但是有不少同学老是使用不好 ， 其中很重要的原因是在“恒等变形”中蕴含了“非恒等变形” 。 历史上无穷小曾经是整个微积分的基础 ， 甚至微积分被叫做“无穷小分析” ， 可惜的是在没有“极限语言”的年代 ， 想弄清楚无穷小是非常难题的事情 。 我们无法理解一会儿x+2=2 ， 一会儿x+2≠2的现象 ， 所以无限下经常被历史上的数学家成为“幽灵” 。 有了极限语言 ， 我们就可以当x→0时x+2的极限是2的现象与x+2的函数值≠2区分得很清晰了 。
即便是有了函数语言 ， 我们能够区分无穷小与它的“变化过程”有关系 ， 但是我们对于无穷无尽的无穷小也很难区分他们的差异 。 我们通过观察统一变化过程中“两个无穷小”函数值 ， 可以知道他们在趋向于某点（或∞）的过程中并不是“恒等式” ， 他们老是有误差 。 我们知道比较两个函数一般有“比差”与“比值”两种方法 ， 但是“比差”显然无法解决在极限状态下不同无穷小的大小关系 ， 由于所有统一变化过程中的无穷小的极限都是0 ， 差的极限也是0 。 所以我们一般用无穷小的“比值”的极限来判定统一变化过程中两个无穷小的关系 ， 这个关系当然不能算是有限值的“大小关系” ， 我们通过比值的方法进行“无穷小的比较” ， 把去穷小的关系分为“低阶、高阶、同阶”三种 ， 在同阶无穷小中假如“去穷小的比值的极限=1”则成为“等价无穷小” 。
我们知道y=sinx ， y=x ， y=tanx在x=0的四周几乎一样了 ， 但是他们并不相等 ， 不外当x→0的时候 ， 他们的极限是相等 ， 并且比值的极限即是1 ， 很显著在x=0的四周 ， 它们与y=x3相差甚多 。
本文插图
所以在求极限的过程中 ， 我们不能由于都是无限下就胡乱换 ， 只能等价无穷小才可以代换 ， 更为重要的是即便是等价无限下在“变化过程”中也不是完全相等的 ， 在代换的时候还有一些“前提约束” ， 这个前提就是lim(α/β)=lim(α′/β′) ， 其中α~α′β~β′ ， α ， α′ ， β ， β′是统一变化过程中的无穷小 。 我们知道0/0型的极限属于最基本的不决式 ， 我们不知道他们的极限是多少 ， 甚至直接求都是非常难题的 ， 而且这些函数进行“恒等变形”之后也无法解决问题的时候 ， “等价无穷小代换”就可以派上用场了 。 我们知道三角函数、无理式、指数函数、对数函数等形式的无穷小在某种情况下（可见公式）与多项式类型的无穷小等价 ， 这意味着这种“非恒等变形”非常有利于匡助我们求极限 。
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