初等数学几百年重大错误：将此数轴误为彼数轴
初等数学几百年重大错误：将此数轴误为彼数轴——让5000年都无人能识的标准自然数一下子浮出水面黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）[摘要]数（点）集最起码常识凸显应有几何起码常识：图A平移非0距离变为B（≌A）必≠A且B不可⊂A ， 因B必有元点在A外 。 此常识让5000（2500）年都无人能识的N(R)一切数的N(R)外标准自然数（实数）一下子浮出水面 。 放射科医生若不知健康人肺部的图像与肺癌病人肺部的图像有何差别而将病人误为健康人 ， 后果...；将前所未知的R(N)外数误为R(N)内数使数学几百年来一直将无穷多各异数轴（图像）误为同一轴、将无穷多假N误为N、将根本不是N的真子集误为N的真子集 ， 从而使康脱推出错上加错的更重大错误：无穷集可～其真子集 。[关键词]用而不知的R外“更无理”标准实数推翻“R轴各点与各标准实数一一对应定理”；推翻百年集论和百年自然数公理；将假N误为N；搞错一次函数的值域党中央非常重视科普工作 。 科普书若有以讹传讹的重大错误则其危害性是极其重大的 。 百年集论在数学中的地位相当于百年相对论在物理学中的地位 。 李醒民等编科普书《10个震撼人心的科学发现》中百年集论名列各重大发现之首 。 有科普书将百年集论誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页 ， 福建教育出版社 ， 1993） 。 然而科普短文《中学数学几百年重大错误：将两异数列误为同一数列——百年病态集论的症结》（见深圳科普网）及短文中的参考文献指出集论是极荒唐谬论 ， 所以“最伟大创造”其实是以讹传讹；集论是统治数学王国的国王 ， 短文将这国王“拉下马”了 。 本科普文是对短文的重要补充 ， 本文的一系列论据形成了论据链 。1.图说数集最起码常识凸显沿本身平移前、后的直线必不重合——中学几百年解析几何重大错误：将两异数轴误为同一轴设集A=｛x｝表A各元均由x代表 ， 相应变量x的变域是A；F=｛x、y｝=｛x｝∪｛y｝=U∪V表F各元均由x或y代表 ， 相应变量x（y）的变域是U（V） ， 其余类推 。 同一字母x可代表各不同的数 ， 同样 ， 为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集 ， 在彼场合可代表另一集 ， 其余类推 。变数n取自然数 。 挖去“自然数集”N=｛n≥0｝的0得N+=｛n≥1｝⊂N 。 “实数集”R所有非负元x≥0组成R+ 。 R⊃N各元x均有对应标准实数x+1、2x、xn（n≥2）等等 。 若无特别说明 ， 本文中的集合均至少有两元 。 定义：若数集A可保距变为B则称A≌B 。 显然A≌A 。 可将本文中关于图形的论述全部去掉（即可没点与点集概念）而不作任何几何解释地仅凭数（数组）集相等、≌的定义证明两集是否相等是否≌ 。天体力学中的地球可是质点 。 与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0） ， 此x变换为实数y=x+δ的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置y=x+δ还在管道g内即实数的改变可形象化为g内质点的位置的改变（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的质点是同一点） 。 R可形象化为R轴, R各数x可形象化为R轴各点；变数可形象化为g内动点 。c0=0.0001≈0,R各元x保距变为y=x+c0组成｛y｝（y的值域）的几何意义是R轴各元点x沿管道g保距平移变为点x+δ=y=x+c0组成元为点y的y=x+c0轴即R轴沿轴平移变为y=x+c0轴叠压在x轴上 。 其余类推 。 中学数学认定y轴=x轴（自有函数和无穷集概念几百年来数学一直有函数“常识”：R各元x的对应数x+c0的全体是R） ， 因有直线公理 。 其实这是肉眼直观错觉 。数集最起码常识：若A（B）各元x（y）有与之对应相等的元y（x）∈B（A）即A各元与B各元可一一对应相等：x↔y=x（恒等对应）则称A=B；若可一一对应近似相等则A≈B 。 显然A≈B与A=B不能同时成立 。 本文最关键的论据之一：若A与B是同一集则A必可（不是“只可”）恒等变换地变为B=A 。x轴的射线R+:x≥0沿轴平移变为射线B：x+c0≥0+c0≈0 ， R+≈B的原因是平移的距离≈0使R+各元x与B各元x+c0≈x+0一一对应近似相等 。 同样上述x轴各元x与y=x+c0轴各元y=x+c0≈x一一对应近似相等：x↔x+c0≈x使y轴≈x轴 。 各x变为y=x（y≈x）是恒等（近似恒等）变换；因“≈”与“=”不能同时成立故x轴近似恒等变换地变为y=x+c0（≈x）轴≠x轴 。 可见数集相等及近似相等概念表明x轴沿轴平移变为y=x+c（c是正常数）轴（≌x轴）≠x轴 ， 当平移距离≈0时y轴≈x轴 。 当然肉眼不可察觉此事实 ， 但下文使人凭肉眼就能察觉 ， 正如凭肉眼就能看到射线R+≈B一样 。 注：η=[0 ， 1]⊂x轴（且⊂y=x+c0轴）各元x与[0 ， 1]⊂y=x+c0轴各元y=x+c0可一一对应相等：x=j↔y=x+c0=j ， 但要注意↔两边的x是不相等的 ， 此x=j彼x=j-c0 ， j的变域是η 。 A=｛-1 ， 0 ， 1｝各元x保序变大为y=x+1x组成的｛y｝各元y与A各元x不可一一对应相等；A各元x变为y=-x组成的｛-x｝各元-x与A各元x可一一对应相等：x↔-x=x ， 但要注意等号两边的x互为相反数 。横坐标相等的点（x ， y）与（x ， y′≈y）近似重合 。 直线A：y=x(y∈R) 各元点（x ， y=x）保距平移变为(横标x不变只是纵标y变为y′)点（x ， y′=x+c0）组成...即A（升高）平移成直线B：y′=x+c0≈x ， A≈B的原因是平移的距离c0≈0使两线各点的纵标y=x∈R与y′≈x一一对应近似相等；显然若“一一对应相等”则两线必重合 。 所以A、B不重合形象地说明R各元y=x与各对应y′=x+c0不可一一对应相等 。 详论见[1] 。 图A平移变为B≌A ， 显然当且仅当平移的距离=0时才是恒等变换 。 其实“对R从小到大一个不漏的每一（一切）元x都有对应数y=x+c0x”明确表示有数y（∈y=x+c0轴）R一切数x而不可与R任何元x对应相等 。 关键是连文盲都知“一个不漏”的确切含意 。 更多论据见下文 。2.几何、逻辑学起码常识让中学生也能一下子认识5000（2500）年都无人能识的N(R)外标准自然数（实数）“无界”的曲、直线互不≌从而更不相等 。 数学图形可是离散的点的点集 。 “无界”的“整数点集”Z各元点x=±n（n∈N）∈R轴不保距平移变为点x+δ=2x=±2n组成｛±2n｝不≌Z从而更≠Z 。 中学的“图A≌A”说明A变为B=A≌A不一定是恒等变换但一定是保距变换 。h定理1：数（点）集A=B的必要条件是A≌B 。证：A=B必可恒等变换地变为B=A≌A ， 而恒等变换是保距变换 ， 所以B=A的必要条件是B≌A 。 注：若点集B=A≌A则B与A大小与形状都相同即B≌A 。 证毕 。x变为两数：x和x+1x是x变大了的变换 。 保距变换的特点之一：一个点（数）只能变为一个点（数） 。 点集A=｛1 ， 2 ， 3｝（各数是数轴上点的坐标）各元点x=n（=1 ， 2 ， 3）变为两个点：n和n+1n形成｛1 ， 2；2 ， 3；3 ， 4｝不≌A从而更≠A；A各元点n变为两个点：2nn和2n+12n形成｛2 ， 3；4 ， 5；6 ， 7｝不≌A；... 。 集随元的变换而变换 。 一群小鸡组成的集A各鸡都变大为大鸡组成的集B不能还是由小鸡组成的A了 。 同样 ， 一数集A各数x全都变大（小）为y（）x组成的B｛y｝≠A即A各数全都变大（小）后形成的集不能还是原集A了（否则是不合逻辑的）——初等数学应有的h逻辑学起码常识 。 人有逻辑推理的能力 。点集N⊂x轴各元点x=n保距平移变为点x+δ=y=n+1组成H=｛y=n+1｝≌N ， 即图N沿x轴平移变成H≠N 。 如[2]所述N各点（数）n“一变二”地变为两个点（数）n、y=n+1n生成J={n、n+1}=｛n｝∪｛y=n+1｝=N∪H ， 这“一变二”不是保距变换使J不≌N（这变换等价于图N先平移成H≌N ， 然后H与N 合并成J 。 ）据h定理1J≠N；各n变为n、n+1n是各n都变大了的变换 ， 据h逻辑学常识J≠N 。 包含N的J=N∪H≠N说明J必至少有一元y∈H在N外 ， 这N外的y=y0=n0+1n0∈N显然N一切数n 。 其实y=n+1n=0 ， 1 ， 2 ， ...（数列N）一目了然地显示y可N一切数n而取N外数 。 注：若给数列A增项则必使A变为B≠A ， 所以不断增项（元）的数列（集）是不断变化的非固定数列（集） 。 人类认识自然数后的5000年里一直无人能识此N一切数n的N外标准自然数y0使数学一直将N外数误为N内数 。 所以流传几百年使世人深信不疑的中学函数“常识”：“N各数n的对应数n+1均∈N ， 定义域为N的y=n+1的值域H={n+1≥1}（～N）=N+={n≥1}”其实是几百年重大错误 ， 这使康脱推出康健离脱的病态“定理”：N～N+⊂N 。N各元n变为两个数：n、2n生成F={n、2n}=｛n｝∪｛2n｝不≌N ， 据h定理1 F≠N 。 包含N 的F≠N说明F必至少有一偶数元2n∈｛2n｝在N外而N一切数n 。 所以几百年函数“常识”：“N各n的对应2n∈N”是重大错误 。 N各元n变为两个数：2n、2n+1生成N′={2n、2n+1}=｛2n｝∪｛2n+1｝不≌N ， 据h定理1N′≠N 。 所以N′是似是而非的假N,几百年“N′=N”是重大错误 。 N各n变为3个数：3n、3n+1、3n+2得N″={0 ， 1 ， 2；3 ， 4 ， 5；…；3n ， 3n+1 ， 3n+2；...}不≌N ， 据h定理1N″≠N 。 …… 。 由此可见自有无穷数列概念几百年来数学一直将无穷多假N误为N 。 详论见[2] 。同理 ， R各元x变为两个数：x、y=x+c0生成包含R的F={x、y=x+c0}=R∪｛y=x+c0｝不≌R中必至少有一元x+c0x∈R在R外而R一切元x；... 。 认识无理数后的2500年里一直无人能识此“更无理”的R外标准实数使数学有上述几百年函数“常识”：R各元x的对应数x+c0的全体是R 。注：“点x变为还在管道g内的两个点：x、y=x”其实是点x变回自己的恒等变换；“N各数n（=2p、2p+1）变为两个数：n=2p、n=2p+1”其实是n变回自己；...... 。h定理2：任一点集A平移距离ρ≠0变为的B（≌A）中必有元点在A外使B≠A且B不⊂A ， 当且仅当ρ=0时B=A（若ρ≈0则B≈A） 。 所以应有h几何起码常识：图A平移距离ρ≠0变为B（≌A）必≠A且B不可⊂A ， 因B必有元点在A外 。证1：若A不可通过恒等变换变为B则必说明A≠B 。 在平移变换：x↔x+c（↔两边的x是同一x）中当且仅当常数c=0时才是恒等变换即当且仅当平移的距离=0时才是恒等变换 。 同样二、三维空间点集A平移距离ρ变为B≌A ， 当且仅当ρ=0时才是恒等变换 。证2：设A各元点x的对应点x+常数c的全体是B 。 A各元点x变为两个点：x、y=x+c≠x组成C=｛x、y｝={x}∪{x+c}=A∪B不是保距变换使C不≌A ， 据h定理1C≠A；包含A的C=A∪B≠A说明C中的B⊂C必至少有一元∈C在A外 。 同理二、三维空间点集A平移成B≌A（平移的距离≠0） ， A与B合并成的C=A∪B不≌A从而更≠A ， 包含B的C≠A说明… 。 证毕 。据h定理2一空间直线（数轴）A沿本身非恒等变换地平移变为B≠A可变为无穷多各异直线相互叠压在一起形成平行直线丛；而直线公理使中学几百年解析几何一直只识其中的一条直线且将无穷多各异线（数轴）误为同一线（轴）：A 。 进而将无穷多各异平面（空间体）误为同一点集 。 注：平面（空间体）由无穷多相互∥的直线（平面）组成 。h定理3：若数集A各元x有对应y（x）（）x则必至少有一y（x）在A外而（）A一切元x 。证（见已在“预印本”上公布的黄小宁的相应长文）：⑴设A各元x的对应数y（）x的全体是B 。 A各元x变为两个数：x、y（x）≠x组成的C=｛x、y｝={x}∪{y}=A∪B不≌A ， 据h定理1C≠A 。 包含A的C=A∪B≠A说明C中的B⊂C必至少有一元y∈C在A外 。 ⑵A各x变为x、y（）x组成C=｛x、y｝是各x都变大（小）了的变换 ， 据h逻辑学常识C≠A 。 证毕 。R（N）各元x（n）有对应y=x+c0x（y=n+1n）,据h定理3必至少有一y在R（N）外而R（N）一切元x（n） 。x轴即R轴有两子部射线：x≥0（即射线R+）及射线S⊂ R+：x≥1 。 R+各元x≥0保距变为x+δ=y=x+1组成S′=｛y｝即R+沿R轴正向平移距离1变为元是点y=x+1≥1（x≥0）的射线S′～R+:y=x+1≥1；S′与S即射线x≥1不可重合 ， 因据h定理3 R+各元点x≥0的对应点y=x+1（x）∈S′中必至少有一y在R+外使R+不可包含S′（据h定理2也得此结论） ， 而S⊂R+ 。 所以中学几百年“S=S′～R+”是将两异射线误为同一线 ， 这使康脱推出康健离脱的病态“定理”：R+～S⊂R+ 。γ=（0 ， 1]⊂R各元x有对应正数y=0.5xx ， 据h定理3必至少有一y=tx在γ外而R一切正数元x 。 显然t是标准分析一直用而不知的R外标准无穷小正实数 ， 数学一直将这前所未知的“更无理”t误为R内数 。 所以中学几百年“γ⊂R各元x有对应数0.5x的全体是（0 ， 0.5]⊂R”是重大错误 。 …… 。 详论见已在“预印本”上公布的黄小宁的一系列长文 ， 也可见拙文《3000年不识伪≌直线段使中学数学有一系列重大错误——看图识5000年都无人能识的无穷大自然数∈N》http://www.360doc.com/content/20/0729/18/70996036_927464071.shtml ， 个人图书馆 。3.结束语以上表明将貌似重合的两异集误为同一集就会引出一连串的更重大错误（例使“天才”康脱推出极荒唐的百年病态谬论“部分可=全部”） ， 但限于篇幅本文只能挂一漏万；是否及时纠正与每一人的切身利益息息相关 。参考文献[1]黄小宁 。 初等数学2300年之重大错误：将无穷多各异点集误为同一集——让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的直线段[J] ， 考试周刊 ， 2018（71）:58 。[2]黄小宁 。 几何、集合起码常识暴露中学数学一系列重大错误——几何起码常识让5千年都无人能识的自然数一下子暴露出来[J] ， 科技视界 ， 2016（3）：92 。[3]黄小宁 。 凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J] ， 学周刊 ， 2018（9）:180 。电：13178840497E-mail：hxn268@126.com
