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正十二面体|生活在正十二面体星球上的社恐如何制定散步计划

今天 ， 让我们先从一则特殊的”童话“故事开始：
在一个正四面体星球的一个顶点上 ， 住着一位数学家 ， 在这颗星球的其余顶点上 ， 各有一枝玫瑰 。 数学家有一只羊 ， 每天他都会带羊散步 ， 他不想转弯只想走直线 ， 且不想经过其他顶点 ， 免得羊会吃掉那里的玫瑰 。 请问：有没有这样一条散步路径 ， 可以让数学家的羊沿着直线出发后 ， 既不会破坏玫瑰 ， 还能在安全返回家中？
如果你不知道问题的答案 ， 请先别着急 ， 再来看这个：
在一个正十二面体星球的一个顶点上 ， 住着一位不爱社交的数学家 ， 在星球的其他顶点上 ， 也都各有一家住户 。 每当数学家想出去散步时 ， 总是害怕会经过其他住户的家而与他人碰面 。 因此他开始为自己设计路程 ， 想要找到这样一条直线路径 ， 可以在既不经过别人的家 ， 还可以返回到自己家中？
这两个问题听起来似乎很像 ， 但它们是否有着相同的答案？
其实 ， 我们今天要讲的 ， 正是几位数学家 ， 对于发生在这些”奇怪星球“上的”奇怪的散步需求“问题的破解 。
正十二面体|生活在正十二面体星球上的社恐如何制定散步计划
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正三角形、正方形、正五边形等图案 ， 或许是我们在学校接触到的最早的几何形状 。 理论上讲 ， 这种每条边的长度、每个角的大小都相等的二维正多边形可以有无穷多个 ， 只是随着数字的增大 ， 它们越来越接近于一个圆 。
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但是当从二维提升到三维谈论正多面体时 ， 相等的性质除了边和角之外 ， 正多面体上的每个面也必须都相等 。 与正多边形不同的是 ， 正多面体的种类并不是无穷多个 ， 而是最终可被分为五种：正四面体、立方体、八面体、二十面体和十二面体 。
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无论在数学还是在艺术上 ， 这些正多面体都扮演了重要角色 。 人类对正多面体的研究已经持续了至少两千多年 ， 然而在数学家眼中 ， 这些几何结构仍存在许多未知问题 ， 并总能从这些特殊的结构中发现一些“新鲜事” 。
数学家Jayadev Athreya与他的同事就对研究正多面体非常热衷 ， 自2016年开始研究以来 ， 他们已经提出了一些新的想法 ， 并发现了一些新的定理 。 不仅如此 ， Athreya等人还解决了一个已经困扰了数学家一个多世纪之久的问题 ， 这是一个关于正十二面体的最基本的问题 。 今年5月 ， 他们将结果发表在了《实验数学》杂志上 。
正十二面体|生活在正十二面体星球上的社恐如何制定散步计划
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Athreya所研究的问题 ， 正和文章开头的两则“童话”有关 ， 即假如我们生活在一个正多面体世界 ， 有没有可能存在这样的直线路径 ， 可以让你从正多面体的某个顶点出发 ， 顺着这条直线一直前行 ， 可以在不经过其他任何顶点的情况下 ， 返回到原点 。
在研究正多面体的这种直线路经问题时 ， 数学家会用到的一个基本想法就是将这些多面体展开 。 以正四面体为例 ， 它的展开是一个由4个三角形组成的等边三角形 。
【正十二面体|生活在正十二面体星球上的社恐如何制定散步计划】正十二面体|生活在正十二面体星球上的社恐如何制定散步计划
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如上图左边所示 ， 当我们想要将正三角形恢复成正四面体时 ， 只需将颜色相同的边对着粘合即可；而要将两个展开图形结合 ， 则只需将其中一个旋转180° ， 再将它们拼在一起即可（如上图右所示） 。 如果继续向各个方向无限地进行这种结合 ， 就能将这些图形密铺到整个空间 。
现在 ， 在正四面体上的直线问题被演变成了 ， 我们是否可以在展开图上画出一条直线 ， 直线所连接的两点具有相同的颜色？
其实 ， 对由三角形构成的正四面体、八面体、二十面体 ， 以及由正方形构成的立方体 ， 数学家们早已知道这个问题的答案：对于这四种正多面体来说 ， 从任何一个顶点开始沿直线前进 ， 都必定要经过另一个顶点才能重返原点 。 这意味着 ， “正四面体星球”上数学家是无法阻止种植在其他顶点上的玫瑰被羊吃掉的厄运的 。
那么 ， 第二个故事中的“社恐”数学家 ， 是不是也同样无法如愿进行想要的散步了？
其实一直以来 ， 并没有人知道由12个五边形组成的正十二面体在这个问题中的情况 。 与其他四种正多面体相比 ， 正十二面体有一个显而易见的不同：对于正四面体、立方体、八面体和二十面体 ， 构成了它们的图形（三角形和正方形）可以密铺整个空间；而正十二面体的展开图形（正五边形）却不能做到这一点 。


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