仁新数学|已知f(x)+2f(-x)=x,求f
主要内容
通过抽象函数换元、函数代换法 ， 介绍已知f(x)+2f(-x)=x,求函数f(x)表达式的具体步骤 。
【仁新数学|已知f(x)+2f(-x)=x,求f】思路一：抽象函数换元
设-x=t,则x=-t ， 代入已知条件得：
f(-t)+2f(t)=-t,
2f(t)+f(-t)=-t,
由于函数自变量可以用任意符号表示 ，
同时连立已知条件 ， 得方程组：
2f(x)+f(-x)=-x……(1)
f(x)+2f(-x)=x……(2)
方程(1)*2-(2) ， 得：
(4-1)f(x)=-2x-x,
(2-1)f(x)=-x ，
所以f(x)=-x 。
思路二:函数代换法
设f(x)=mx+n,则：
f(-x)=-mx+n,代入已知条件得：
(mx+n)-2mx+n=x
(-m-1)x+2n=0,
方程对任意的x都成立 ， 则：
-m-1=0,且2n=0 。
即：m=-1,n=0,
所以f(x)=-x 。
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