新浪科技综合@存在90年的凯勒猜想被完全破解新浪科技综合2020-08-24 10:09:070阅
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图1/6最近 ， 一个由计算机科学家和数学家组成的团队 ， 彻底解决了一个被称为凯勒猜想的数学难题 。 凯勒猜想是一个已存在了90年之久的谜题 ， 它与不同空间维度上的密铺问题有关 。
我们可以先从最简单的二维情况开始 。 在二维空间中 ， 用相同大小的正方形瓷砖进行密铺时 ， 是否总会出现两块瓷砖具有一整条共享的边的情况？从图形上不难看出 ， 情况的确是这个样子 。
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图2/6在二维空间中 ， 用同等大小的正方形瓷砖密铺时 ， 黄色的边表示的即是两块完全链接的瓷砖 。 | 图片参考来源：cs.cmu.edu将这个问题从二维提升到三维空间 ， 情况也是如此吗？
不难看出 ， 当用大小相同的立方体来完全填充一个空间时 ， 必定有两个立方体完全共享一个面的情况出现 。
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图3/6三维空间中用相同大小的立方体密铺 ， 会导致两个立方体共享一个面 。 黄色方形便是共享会出现的地方 。 | 图片参考来源：cs.cmu.edu二维、三维的情况是我们尚可想象的空间 ， 但是在更高的维度上 ， 情况又是如何？1930年 ， 德国数学家奥特-海因里希·凯勒（Ott-Heinrich Keller）提出猜想 ， 认为这种模式适用于任何维度 。 这便是凯勒猜想 。
在那之后的几十年里 ， 凯勒猜想取得了众多进展 。 1940年 ， 数学家Oskar Perron成功证明 ， 凯勒猜想在六维以及更小的维度上是正确的 。 然而在1992年 ， Jeffrey Lagarias和Peter Shor的工作表明 ， 当维度提高到十以及以上时 ， 这个猜想便不再成立 。 到了2002年 ， John Mackey进一步将这个“不适用范围”缩小到了八维空间 ， 表明它在八个或八个以上的维度上便不再适用 。 如此一来 ， 仍处于未知状态的就是七维空间中的情况了 。
从Perron到Lagarias和Shor ， 在数学家们向这个猜想发起挑战的过程中 ， 研究方法发生了重大变化 。 在Perron的年代 ， 他依靠的是笔和纸来计算这种模式在前六个维度中的适用情况；到了1990年代 ， 为了能让强大的计算机加入这项挑战 ， 数学家Keresztély Corrádi和Sándor Szabó对这一猜想进行了重新表述 ， 将它转化成了一种完全不同的形式 。
凯勒猜想原本涉及到的是光滑的连续空间 ， 在这种空间里 ， 存在无穷多种方式来进行无穷多个瓷砖的密铺 ， 而这种无穷大是计算机并不擅长处理的问题 。 因此Corrádi和Szabó将猜想转化成了某种涉及到离散的、有限的物体的问题来处理 。 这样一种等价方法有效地将一个关于无穷大的问题 ， 简化成了关于几个数字的算术问题 ， 它所涉及到的一个基础核心是一种被称为凯勒图的图形 。
简单说来 ， 凯勒图是由具有特定点数的骰子 ， 以及这些骰子之间的连线构成的 。 点数对应于维数 ， 要判断凯勒猜想在n维空间上是否正确 ， 可以通过在凯勒图上寻找是否存在2?个彼此之间相互连接的骰子组成的小集合 ， 如果存在 ， 那么凯勒猜想在n维中就是不正确的 。
以二维空间中的凯勒猜想为例 ， 首先想象桌子上摆放着一些骰子 ， 且对于每个骰子来说 ， 朝上摆放的那一面的点数为2——这两个点就对应于二维 ， 它们的位置就代表着坐标系中的x轴和y轴 。 接着 ， 分别用红、绿、黑、白四种颜色任意地给每个点涂上颜色 ， 并将红和绿 ， 黑和白设定为两组“配对色” 。
现在 ， 当两个骰子的相同位置的点有不同的颜色 ， 而另一个位置的点的颜色不仅不同 ， 且颜色配对（红和绿 ， 或者黑和白）时 ， 就将这两个骰子骰子用直线连接起来 ， 如下图中的第四种情况 ， 就满足用线连接的条件 。
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图4/6二维的凯勒图中的骰子上有两个点 ， 如果两个骰子上的点的颜色完全相同 ， 意味着两个瓷砖在空间中完全重合；如果两个骰子既没有共同颜色 ， 也没有配对色 ， 意味着瓷砖部分重叠（一种密铺问题中是不允许存在的情况）；如果两个骰子有一位置上的颜色配对 ， 另一个位置上的颜色相同 ， 意味着两块瓷砖有一个共享面；当两个骰子之间存在连接 ， 代表着两个瓷砖相互接触 ， 但彼此略微错位 。 最后这种情况是在证明凯勒猜想时所要寻找的例子 ， 它代表着那些相互接触却没有共享面的瓷砖 。 | 图片参考来源：Samuel Velasco / Quanta Magazine在凯勒图中 ， 每个骰子可被看成是凯勒猜想中的一块瓷砖；骰子上的颜色可被看作是坐标 ， 定义了瓷砖在空间中的位置；而骰子之间存在连接与否 ， 可被看作是对两个瓷砖的相对位置的描述 。
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图5/6二维空间的凯勒图 。 | 图片参考来源：cs.cmu.edu上图所示的就是二维情况的凯勒图 ， 它由16个点数为2的骰子组成 。 就像前面已经提到的 ， 这张图能将凯勒猜想的证明 ， 变成判断能否找到4（即22）个这样的骰子形成一个完全彼此相互连接的小集合 ， 如果能 ， 那么就证明凯勒猜想在二维空间中是错误的 。
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