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数学|2020数学中考题分享之一：要正确作出辅助线并熟练运用垂径定理


数学|2020数学中考题分享之一：要正确作出辅助线并熟练运用垂径定理
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数学|2020数学中考题分享之一：要正确作出辅助线并熟练运用垂径定理
大家好 ， 今天是2020年8月8日星期六 。 从今天开始 ， 数学世界将持续给大家分享2020年各地的数学中考真题 ， 这次分享一道2020年武汉数学中考题 ， 希望能够对大家的学习有一些帮助！如果你是来到这里的新朋友 ， 请翻看以前的文章 ， 希望能够大家能够喜欢 。
例题：（2020·武汉数学中考题）如图 ， 在半径为3的⊙O中 ， AB是直径 ， AC是弦 ， D是弧AC的中点 ， AC与BD交于点E．若E是BD的中点 ， 求线段AC的长 。
我们在做这道题时 ， 要有效利用题中的已知条件 ， 推出解决问题所需要的条件 ， 同时要针对具体问题进行分析 ， 并结合要求的结论进行思考 。 接下来 ， 数学世界就与大家一起来完成这道例题吧！
分析：我们可以连接OD ， 交AC于F ， 根据垂径定理得出OD⊥AC ， AF=CF ， 再通过证明三角形全等得到DF=BC ， 根据三角形中位线定理可以求得OF=1/2DF ， 由于⊙O的半径为3 ， 从而求得BC=DF=2 ， 再利用勾股定理即可求得AC的长 。 下面 ， 我们按照这个思路解答此题吧！
【数学|2020数学中考题分享之一：要正确作出辅助线并熟练运用垂径定理】
解答：连接OD ， 交AC于F ， （如图）
∵D是弧AC的中点 ，
∴OD⊥AC ， AF=CF ， （根据垂径定理）
∴∠DFE=90° ，
∵OA=OB ， AF=CF ，
∴OF=1/2BC ， （根据三角形中位线定理）
∵AB是直径 ，
∴∠ACB=90° ，
在△EFD和△ECB中 ，
∠DFE＝∠ACB＝90° ，
∠DEF＝∠BEC ，
DE＝BE ，
∴△EFD≌△ECB（AAS） ，
∴DF=BC ，
∴OF=1/2DF ，
∵OD=3 ，
∴OF+DF=3 ，
∴OF=1 ，
∴BC=2 ，
在Rt△ABC中 ， AB=6 ，
AC^2=AB^2-BC^2 ， （根据勾股定理）
∴AC=4√2 ，
即线段AC的长为4√2.
（完毕）
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦 ， 并且平分弦所对的劣弧、优弧 。
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦 ， 并且平分弦所对的劣弧或优弧 。
平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦并且平分弦所对的另一条弧 。
弦的垂直平分线经过圆心 ， 并且平分弦所对的两条弦 。
这道题主要考查了圆中的垂径定理、三角形全等的判定和性质以及三角形中位线定理等 ， 正确作出辅助线并能够熟练运用性质定理是解题的关键 。 温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法 ， 欢迎大家在下面留言讨论 。 谢谢！


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