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相亲|数学家的相亲模型，你或许可以用到，相亲不够有效的原因在此( 二 )


其次是最佳的结婚时间，计算发现，人们应该在计划婚期之前所有约会时间过完37%之后再结婚。也就是说，如果一个人打算在35岁结婚，而他从15岁开始约会，那么22.4岁之前所有的约会对象，都将不幸地成为他人幸福路上的垫脚石。
可别以为结了婚就万事大吉，好事儿的数学家们对婚姻能否持续另有一套数学模型。据说，这套模型曾用于预测国家之间的军备竞赛。
利用数学的观点抽象之后的麦穗问题，等效于概率及博弈论中著名的秘书问题。它还有多种变换版本：未婚夫问题、止步策略、苏丹嫁妆问题，等等。
下面我们用“傻博士相亲”的故事来叙述它。并借助微积分的基本概念用于求解分析这一问题过程。
且说几年前留学人员中有一位外号“傻博士”的学人，精通数学，小有成就，唯有一老大难问题尚未解决：将近40岁还没有交上女朋友。于是，那年他奉母命回国相亲，据说半个月之内来了100名佳丽应召。后来，这位傻博士经过严格的数学论证，采用了一种他认为的“最佳策略”，终于百里挑一，赢得美人归。
这里还需加上一段话，描述傻博士母亲设定的条件。母亲要求他在15天之内，要对这100位佳丽一个一个地面试，每位佳丽只能见一次面，面试一个佳丽之后立即给出“不要”或“要”的答案。如果“不要”，则以后再无机会面试该女子；如果答案是“要”，则意味着博士选中了这位女子，相亲过程便到此结束。
看到这里，你也许已经能领会到这个“博士相亲”与“麦穗问题”本质上是一致的了。那么，对于母亲这种“见好就收，一锤定音”的要求，傻博士的“最佳策略”又是怎么样的呢？
既然是“最佳”，那应该用得上微积分中的最优化、求极值的技巧吧。果然如此！我们首先看看，傻博士是如何建造这个问题的数学模型的。
这看起来是个概率的问题。假设，按照傻博士对女孩的标准，他将100个女孩做了一个排行榜，从1到100编上号，“#1”是最好的，然后，“#2”、“#3”……当然，傻博士并不知道当时每一次面试的女孩是多少号。这些号码随机地分布在傻博士安排的另一个面试序列（1，2，3，…，r，…，i，…，n）中，见图3-5-1。傻博士的目的就是要寻找一种策略，使得这“一锤定音”定在“#1”的概率最高。
设想一下，傻博士可以有好多种方法做这件事。比如说，他可以想得简单一点，预先随意认定一个数字r（比如将r固定为等于20），当他面试到第r个人的时候，就定下来算了。这时候，因为r是100中挑出来的任意一个，所以，这个人是“#1”的概率应该是1/100。这种简单策略的概率很小，傻博士觉得太吃亏。比如说，当他面试到第20个人时，如果看到的是个丑八怪（或者疯女子）也就这么定下来吗？显然这不是一个好办法。那么，将上面的方法做点修正吧：仍然选择一个数字（比如r＝20），但这次的策略是：他从第20个人开始认真考察，将后面的面试者与前面面试过的所有人加以比较。比如说，如果傻博士觉得这第20个面试者比前面19个人都好，那便可以“见好就收”。否则，他将继续面试第21个，将她与前面20人相比较；如果不如前面的，继续面试第22个，将她与前面21人相比较……如此继续下去，直到面试到比前面的面试者都要更好的人为止。
根据图3-5-1，总结一下傻博士策略的基本思想：对开始的r－1个面试者，答复都是“不要”，等于是“忽略”掉这些佳丽，只是了解一下而已，直到第r个人开始，才认真考虑和比较。如果从r开始面试到第i个人的时候，觉得这是一个比前面的人都要更中意的人，便决定说“要”，从而停止这场游戏。图3-5-1中还标出了一个“临时最佳者”，这和实际上隐藏着的排行榜中的“#1”是不同的。“临时最佳者”指的是傻博士一个一个面试之后到达某个时刻所看到的最好的佳丽，是随着傻博士已经面试过的人数的增加而变化的。
这里便有了一个问题：对100个人而言，到底前面应该“忽略”掉多少个人，才是最佳的呢？也就是说，对n个面试者，r应该等于多大，才能使得最终被选定的那个面试者，是“#1”的概率最大？r太小了当然不好，比如说，如果令r＝2，那就是说，只忽略第一个，如果第二个比第一个好的话，就定下了第二个。当然也可能继续下去，但很有可能使你的决定下得太快了，似乎还没有真正开始面试，过程就结束了！r太大显然也不行，比如说令r＝99，那就是说，从第99个人才开始比较。如此办法，因为忽略的人数太多，当然，“#1”被忽略掉的可能性也非常大，面试了这么多的人，将傻博士累得半死，选出#1的概率只是大约为2/100而已。
也许，应该忽略掉一半，从中点开始考察？也许，这个数k符合黄金分割原则：0.618？也许与另外某个有名的数学常数（π或e）有关？然而，这都是一些缺乏论据的主观猜测，傻博士是科学家，还是让数学来说话吧。
我们首先粗略地考察一下，如果使用这种方法的话，对某个给定的r，应该如何估算最后选中“#1”的概率P（r）。对于给定的r，忽略了前面的r－1个佳丽之后，从第r个到第n个佳丽都有被选中的可能性。因此，在图3-5-1下方的公式中，这个总概率P（r）被表示成所有的P（i）之和。这里的i从r到n逐一变化，而P（i）则是选中第i个佳丽的可能性（概率）乘以这个佳丽是“#1”的可能性。


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