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【古巴比伦】人们是怎么发现π的呢？( 三 )


答案很简单：古代人非常聪明 ， 如果能他们能长生不老的化 ， 他们很可能会一直算下去 ， 知道算出来为止 。 而这就是阿基米德算法所蕴含的数学基础 。 老实说 ， 这其实不是阿基米德的计算方式 。 所以很显然 ， 古希腊数学家受到了错误理念的影响 ， 即小词汇蕴含大玄机 。 因此 ， 即使再翻译过后 ， 他们的译文仍然像希腊文那样难以理解 。
梅德斯先生的方法如下所示 。 如果In是内接正多边形的周长 ， 而Cn是外部n边的周长 ， 则：
你可以花费九牛二虎之力 ， 再运用大量方程式计算来证明 ， 随着图形边的数量增加 ， 该图形周长将无线接近π（圆的周长） ， 或者你可以直接画一幅画说“看……这是真的” 。
先用虚线画一个圆 ， 其有内接和外切n角（蓝色）和2n角（红色）的正多边形 。 正多边形每段的长度是总周长除以段数（因此 ， 所有段均除以n） 。
如果将六个等边三角形粘在一起 ， 则会得到一个正六边形 ， 并带有一点三角 ， 您会发现 ， 如果您的圆的直径为1 ， 则内接正六边形的周长为I6 = 3 ， 而外切正六边形的周长为C6 =2√3≈3.46。
要算出正十二边形的周长 ， 就将C6和I6插入迭代方程式：
而这个周长都比迭代前的任何一个结果都更加接近于π ， 并且由于所有n的I_n <\\ pi <C_n ， 因此我们可以找到π的范围越来越小 。 以下是其运算原理：
在圆上画内接或外切的正多边形会形成某种对称性 。 因此我们可以通过绘制一些三角形来快速地找出它们的各个角度 。
也就是算出内接正多边形的一条边或者外切正多边形的一角 。 内接正多边形里面的边长可以由2n角地正多边形推导出 。 红色阴影三角形都相似（因为它们都有相同的角度） ， 蓝色三角形也都相似 。
一个完整的圆为360° ， 因此正多变边形的每一边都跨度为360° / n度 。 那么∠a就是这些角度的一半 ， 因此∠a = 180 °/ n 。
因为三角形中内角之和为180° ， 所以两∠b之和与∠a互补（二∠b之和为90°） ， 第三个角度为90°（以直径为斜边的圆内切三角形对角为90°） 。 因此 ， ∠b = 90°-180 °/ n 。
∠c和∠b互补 ， 因此∠c =∠ a = 180° / n 。
∠c + ∠d = 180° ， 因此∠d = 180°-∠c = 180°-180° / n 。
三角形中的角度之和为180° ， 因此∠d + ∠e +∠ e = 180° ， ∠e = 90°-∠d / 2 = 90 °/ n 。
最后 ， ∠b + ∠e +∠ f = 90° ， 所以∠f = 90°-∠b-∠e = 90° / n 。
由于∠f = ∠e ， 所以两个红色三角形角度相等：它们是“相似的三角形” 。 类似地 ， 由于∠c = ∠a ， 所以两个蓝色三角形角度相等并且也相似 。 当两个三角形相似时 ， 其边的比例相同 。
关于边长计算如下 。
利用蓝色三角形的相似点 ， 我们可以推导出：
【【古巴比伦】人们是怎么发现π的呢？】当然 ， 红色三角形计算过程如下：
因此 ， 我们从一个已知的几何形状和π的定义入手 ， 找出一个计算方法 ， 投入大量时间进行演算就可以求得一个无限趋近于π的数 。
乘法和长除法比较简单 ， 可以手动计算 。对于古人来说 ， 迭代算法中最难的部分是平方根以及制作计算所需的草稿纸 。 幸运的是 ， 古人也有一些技巧 。 例如 ， 如果要取S的平方根 ， 只需假设一个x ， 然后计算        
      ， 然后你就会得到一个比您最初的猜测x更接近        
     的结果 。这种方法是古巴比伦人和阿基米德人所熟知的（实际上是“巴比伦方法”） ， 通过二次收敛 ， 几乎可以立马得到你所想要的任何（合理的）精度 。
所以重点就是 ， 你可以通过运用理性思维 ， 投入大量时间不断进行演算 ， 最后找到你所需要的π位数 。


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