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【古巴比伦】人们是怎么发现π的呢？( 二 )


所有的证据都说明了尽管π充满了数学的神秘色彩 ， 但其却是一个实实在在的数值 。 这是一个你可以切实测量出来的数据 。但不论怎样 ， 它都不等于三 。 虽然圆越大 ， 计算出来π的值越精确 ， 但其用处会越来越小且枯燥 ， 就好像连续吃一周的寿司自助餐一样 ， 吃多了总会腻 。
如果你将π精确到小数点后无穷位数 ， 那么你就可以测算出圆的周长与其直径之比约为1：10N 。 例如 ， 已知π≈3.14 ， 我们就可以将自行车轮胎安装到轮辋上1厘米以内得范围 。 已知π≈3.1415 ， 则可以计算出一英亩的圆形田地外所需的围栏长度 。 当然 ， 已知π≈3.1415926535 ， 则可以不浪费一厘米电缆线而将电缆绕地球一周 。 可以说 ， 将π精确到小数点后10位是毫无意义的 ， 但这并没有让数学家停下其严苛的演算 。 一次也没有过 。
定义π不仅为我们提供了实际的测量方法 ， 还提供了数以百计的数学方法 ， 而这个过程就是数学的精巧所在 。像阿基米德和刘徽这样的数学家 ， 以及与他们相距几千年的一些不知名的古埃及人 ， 都曾使用切割法来得出π的近似值 。 刘徽将π精确到小数点后四位数 ， 这比他早约一千年的阿基米德得出的近似值还要精确些 。 还真是奇怪了 。       
在罗马对锡拉丘兹的围攻中 ， 马塞勒斯将军以为知识无国界遂下令活捉阿基米德 。 遗憾的是 ， 直到最后阿基米德也没将几何学原理传授给罗马人 。
要么是阿基米德和历史学家失误了 ， 要么是古希腊人比我们获知了更精确的π的近似值 。 对于给定的圆 ， “内接正多边形”是指其各顶点接触圆（位于圆的内部） ， “外切正多边形”是指其各边相切于圆（位于圆的外部） 。 阿基米德通过在圆内相接和圆外相切正九十六边形计算出圆的周长 ， 以此获得π的近似值 。 想要确定π的值 ， 可以由内接正多边形得出一个下限 ， 而由外切正多边形得出一个上限 。 但问题就在于：阿基米德不仅找到了正九十六边形的周长 ， 还发明了一种迭代算法可通过已给定n个角的图形周长来计算2n个边的图形的周长 。 也就是说 ， 他从正六边形（六个角）开始 ， 然后引导至12角 ， 24角 ， 48角 ， 令人费解的事 ， 最后他推导出96角后就不再继续了 。 很显然 ， 他还有比计算出更多位数的π更重要的事要做 。 讲道理 ， 这并不是一个非常精确的数值 。 但到此 ， 他可能就宣称问题已得到解决了 ， 因为任何人按照他的程序进行操作 ， 都可以得到他们想要π的位数 ， 然后继续投入热射线或类似的事物研究中去（说真的 ， 当时的有钱人们甚至想制造太阳热射线来保卫锡拉库扎） 。
每当人们运用阿基米德的迭代算法时 ， 得出的π得近似值精确度都会提高约4倍（其收敛速率为1/4） 。 可事实上这并没有听起来那样令人振奋 。 因为每5次迭代就会得出小数点后约3数字 。 从六边形到96边形阿基米整整算了4次 ， 最后将π精确到小数点后3位 。 如果他再辛苦一点 ， 重新计算该过程（例如再重复10次） ， 那么他将会将π精确到小数点后9位数 。 虽然这毫无用处 ， 但觉得值得到处吹牛 。
与现代计算方法得出的精确值相比 ， 这些先辈们得出的近似值 ， 不再让人感到骄傲 。 阿基米德运用技术线性收敛可得出π的精确值（每次使用该算法 ， 得出的π的位数大致相同） 。 直到我们发明了二次收敛算法后 ， 事情的发展才真正进入正题 ， 二次迭代算法使已知π位数的数量翻倍 。 也就是说：如果你将π精确到十位数 ， 那么在下一次迭代之后 ， 你将得出π的二十位数 。 当今最快的算法莫过于非常规地收敛 。 （每一次计算将比前一步计算结果的精确九倍） 。
π的定义为圆周长与圆直径之比 ， 这使我们可以直接但不准确地对圆进行测量 ， 抑或对其进行精确而但却毫无意义的计算 。π还有更抽象的属性（例如 ， 它能无限不循环下去（事实确实如此）或其他任何具有可能性（也只是可能）的形式） ， 但这些抽象属性需要的不只是直接粗暴的数字计算 。 想得出这些更为抽象的属性 ， 就要立足于π的定义而不是其数值多少 ， 忽略哪怕一个数字 ， 我们可能得出结果但也可能被轻易推翻 。 在物质世界中数学的确很有用 ， 但数学并不是“原本就生活在这里” 。虽然π具有物理意义 ， 但是我们主要依据其数学特性来了解它 。


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