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算法与数学之美|最自然的数字——e( 二 )


欧拉在 1737 年证明了 是无理数（而不是分数） 。 1840 年 ， 法国数学家刘维尔证明了 不是**任何** 次方程的解 ， 而在 1873 年 ， 他的同胞埃尔米特 ， 开创性地证明了 是超越的（不是任何代数方程的解） 。 这里重要的是埃尔米特所使用的方法 。年之后 ， 林德曼沿用埃尔米特的方法证明了是超越的 ， 而这个问题显得更惹人注目 。
旧的问题刚刚解决 ， 新的问题又会接踵而来 。 的 次幂也是超越的吗？这个表述显得如此怪诞 ， 但是还能有什么更好的表述呢？它至今仍未被严谨地证明 ， 按照数学的严格标准 ， 它仍应算作猜想 。 数学家们的证明已经很接近了 ， 证明出了它和 的 次幂不可能同时都是超越的 。 接近了 ， 但是还不够接近！
和 之间的关系非常令人着迷！ 和 的值非常接近 ， 但是我们很容易证明 （ 无需精确计算它们的数值） 。 如果使用计算器算一下 ， 你会发现它们的近似值为。
e很重要吗
主要出现在涉及增长的地方 。 比如说经济增长和人口增长 。 与其相关的还有用 决定曲线来描述放射性衰变 。
数字 也出现在与增长无关的地方 。 蒙特莫特（Pierre Montmort）在18世纪研究了一个概率问题 ， 随后对该问题的研究推广开来 。 简单地说 ， 一群人去吃午饭 ， 吃完后要离开时随机拿起一顶帽子 。 那么没有人拿到自己帽子的概率为多大？
可以证明这个概率是 （ 大约 ）， 所以至少有一个人拿到了他自己帽子的概率为 （ ）。 这只是它在概率论中诸多应用中的一个 。 用于描述小概率事件的泊松分布是另一个例子 。 这些都是较早的应用 ， 但还不只这些 。 詹姆士·斯特林利用 和 得到了一个对阶乘 的著名近似：在统计学中 ， 正态分布的“钟形曲线”涉及 ： 在工程学中 ， 悬索桥缆索的曲线取决于。 如此列举下去的清单是无穷无尽的 。
算法与数学之美|最自然的数字——e
本文插图

一个惊世骇俗的恒等式
数学中最吸引人眼球的等式也涉及。 当我们思考数学中的著名数字时 ， 我们会想到 以及虚数。 下面的式子真的成立吗？
成立：这个结果要归功于欧拉 。
也许 ，的重要性就在于它的神秘吸引和魅惑了一代代的数学家 。 总而言之 ，【算法与数学之美|最自然的数字——e】是无可替代的 。 不知为何作家E.V. 怀特（或许他还有一个笔名）要花费那么多力气完成了一部不含字母 的小说 ， 他的《盖茨比》（Gadspy）确实就是一部这样的小说 。 很难想象一个数学家想要或是有能力写这样一本没有 的教科书 。
来源： 图灵新知
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