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算法与数学之美|最自然的数字——e


北京联盟_本文原题：最自然的数字——e
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相对它的唯一竞争者 来说 ，就像是初来乍到的 。由于其可追溯到巴比伦时期的辉煌历史而显得更具威严 ， 而 却没有什么值得称道的历史为其添彩 。 常数 是年轻而充满生机的 ， 当涉及“增长”时 ， 它就会出现 。 无论是人口、金钱或其他的自然数量 ， 它们的增长总是不可避免地会涉及。
是一个近似值为 的数 。 那么它为什么这么特别呢？它并不是一个随机产生的数 ， 而是数学中最伟大的常数之一 。 它萌发于 17 世纪早期 ， 那时 ， 几个数学家正致力于如何阐明对数的思想 ， 这个伟大的发明使得大数之间的乘法可以转换为加法 。
但是 ， 故事真正开始于 17 世纪 。 当时 ， 瑞士的伯努利家族像个生产数学家的工厂 ， 涌现了一批杰出的数学家 ， 而雅各布 ·伯努利正是这个家族的一员 。 1683 年 ， 雅各布开始研究复利的问题 。
金钱 ， 金钱 ， 金钱
假设我们考虑 年定期存款 ， 利率为，初始存款（称为本金）为￡ 。当然我们几乎不可能得到 这么高的利息 ， 这个数字仅仅是为了便于计算 ， 我们完全可以将其推广到真实的利率 ， 例如 或。 同理 ， 如果我们假定本金为￡ 的话 ， 那么计算过程中的所有数字都要乘以 倍 。
在第一年结束后 ， 按 的利率来算 ， 我们现在拥有了本金以及相应的利率￡ 。也就是说 ， 现在的总额高达￡ 。现在我们假设将利率降低到，但是每半年单独结算一次 。 在前半年结束后 ， 我们得到了 便士的利息 ， 总额增加到￡ 。 所以 ， 在全年结束时 ， 我们将以这个基数计算利率 ， 共得到 便士的利息 。 一年结束后 ， 我们最初的存款￡ 增长到了￡！通过每半年计算一次复利 ， 我们得到了额外 便士的利息 。 虽然这看起来很少 ， 但是如果我们投资了￡ 的 本金 ， 我们最后得到的将是￡ ，而不是￡ 。通过半年复利的计算方法 ， 我们得到了额外的￡ 。
但是 ， 如果每半年计算一次复利可以使我们的本金获得更多的利息 ， 银行也同样可以从我们欠银行的债务上获得更多的利息 ， 所以我们一定要小心！现在假设将一年划分为 个季度 ， 每个季度的利率为。 经过类似的计算 ， 我们发现本金￡ 增加到了￡ 。我们的钱在增加 ， 对于￡的本金来说 ， 如果能进一步减小计算利息的周期和利率 ， 我们将能获得更多的利息 。
我们的钱会无限增长下去 ， 并使我们变为百万富翁吗？如果我们将一年时间继续划分为越来越短的周期 ， 这个“极限过程”最终将使本息和停留在某一个常数上 ， 如下表所示 。 当然 ， 现实中计算复利的最短周期是每天（银行正是这么做的） 。 这个过程的数学结论是 ， 这个极限值（数学家称之为e ）是将复利的计算变得连续发生时 ，￡ 的本金最后所获得的本息和 。 这是个好消息还是坏消息呢？你应该知道答案：如果你是在存款 ， 那么它是好消息；如果你欠银行钱 ， 它就是坏消息 。 这是一个 “ 学习”的问题 。
e的精确值
和 一样 ，也是一个无理数 ， 因此 ， 我们也无法知道它的精确数值 。 将 扩展到小数点后 位的结果是
如果仅仅使用分数 ， 并且限定分母和分子都是 位数的话，的最佳近似是。 有趣的是 ， 如果将分母和分子限定到 位数 ， 则最佳近似是。 第二个分数恰好为第一个分数的一个回文展开：一一一数学总是习惯于给我们奉上一些小的惊喜 。 关于 的一个著名的展开序列为：
上式中的阶乘用感叹号来表示更方便一些 。 例如 ，。 根据这种表示法 ，可以表示为我们更熟悉的形式
因此 ， 数字 看起来应该有一定的模式 。 从数学性质来说 ，比 更加“对称” 。
如果你想知道一种记住 的前几位数字的方法 ， 尝试一下这个：“Weattempt a mnemonic to remember a strategy to memorize this count...” ， 每个单词中的字母个数依次代表 中小数点后面的数字 。 如果你熟悉美国的历史 ， 应该将 记为“Andrew Jackson Andrew Jackson” ， 因为安德鲁 ·杰克逊（外号“老山胡桃”）是在 年当选为美国第 任总统的 。 有很多帮助记忆 的方法 ， 它们的趣味在于它们所涉及的离奇事物 ， 而并非在数学上有过人之处 。


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