有哪些优秀的英文数学教材值得推荐
授之以鱼不如授之以渔，简单说下如何判断一本书好不好(可能不只局限于数学)。
要学就学最好的数学。任何一本好书，不论难易，观点一定要高。
对于本科生而言，能用到的书大致分为五类：
让人引起兴趣的小册子。标准的入门教材。经典高级的教材。习题集。“字典”。小册子的目的是让你快速了解这门学科并引起兴趣。
一本好的小册子要满足
1. 厚度薄。即：深入浅出并且快速高效的介绍这门学科的核心内容及其应用。
在每一部分的开头，往往通过一些故事、例子和名人名言等进行引入。
例如：M. A. Amstrong的《Groups and Symmetry》的Preface中就写了这么一句话：
Numbers measure size, groups measure symmetry.随后的全部内容，都围绕群与对称的密切关系展开的。
让我印象最为深刻的是Chapte 18. Counting Orbits一节中，利用群论来计算高中排列组合中的染色问题：给正十二面体每个面染色，共三种颜色可选，则一共有9099种不同的染色方案。
2. 观点高。
例如：Rudin《Principles of Mathmatical Analysis》中，把连续性的定义用拓扑来讲，把多元微积分，直接讲成微分形式的微积分，把N—L、Green、Gauss和Stokes公式一起讲，这些在国内教材几乎看不到。
又比如：Axler《Linear Algebra Done Right》把线性代数讲成了有限维的泛函分析，这也是极好的。
3. 生动形象。即：有很多描述性的语言以及插图，而不是干巴巴的定义定理证明。
事实上，干巴巴的定义定理证明仅仅出现在国内教材，因为这作者大部分花在写书上的功夫不多，只是简单地把知识罗列，并没有细细琢磨这部分知识该怎么讲才容易接受。相比之下，国外的大部分教材可读性就比较强，有种娓娓道来的感觉，来龙去脉比较清楚。
4。 严谨性。
为了把路线图搞清楚，简化内容，一些比较困难又没什么营养的证明是可以省略的，数学家们作报告时也往往不是很关心证明的细节。但是作为数学教材，必要的推导和证明是不能省略的。
标准的教材是适合初学者入门使用的。
一般来讲，它应该满足：
1. 恰当地覆盖教学大纲。即：大部分书上有的，都得有。大部分书上没有的，别太多。
国内的传统教材都是比较标准的，内容覆盖的比较全，但是限于学时，很多部分估计课上老师不会讲，特别是课本最后的那部分内容。压轴压轴，越往后的东西越重要，很可能就是核心理论或者主要应用，老师不讲，自己也要看看。
我不喜欢苏联的教材，百科全书式，什么边边角角的东西都写进去了，技巧性很强，难度也很大。初学者读这种东西很容易“钻牛角尖”，关键是还容易钻不对地方，跟基础知识死磕起来，比如：你读个线性代数，觉得行列式计算好有技巧性，于是你花了很大的功夫研究行列式计算技巧，结果发现，行列式这点东西，并不是线性代数的核心内容。
2. 合理的路线图。即：内容的编排顺序得当。
同样的一门学科，不同的编排顺序可能会影响到学生的理解与接受。比如：数学分析中先讲级数还是先讲多元微积分？线性代数先讲矩阵还是先讲行列式？
每个人的情况不一样，不好说哪个路线图比较好，初学者也很难判断是不这本书适不适合自己。不妨多挑几本教材对照着一起读，然后慢慢去淘汰一些，最后选出最适合你的。
高级教材是写给精英看的。
这些教材往往写的很凝练，相对于标准教材，突出主干而删减细枝末节，适合有一定基础的同学加深理解，提高观点。它们有以下特点：
1. 主题明显。
例如：特仑苏的老师Stein的那套Princeton分析讲义，一直围绕Fourier分析这个大的主题。
2. 极其精炼。
例如：Rudin那套分析三部曲，语言、选材、编排、证明等都非常精炼 。这绝对是一套专门为精英而写的分析教材，几乎没什么例子、例题，只是在难以理解和容易混淆的地方做了注解。这套书虽然很薄，但是读起来并不轻松，有很多地方的细节需要自己扣，有很多话需要仔细品味，这些都是不可多得的锻炼数学能力的机会。
可能很多人会抱怨这本书写的很不具体，但是数学家写的论文就一定要让所有数学工作者看懂吗？并不是，正是这种专为精英写作的“傲娇”理念，才使得Rudin的书称为经典。虽然读的时候比较费劲，但是读完一遍回过头来宏观把握时，不得不赞叹Rudin的写书能力。
PS：不要忽略Rudin书后的评注，这部分介绍了一些知识点的来龙去脉，足以见得作者在写书时花费的功夫，以及严谨的考证态度。
3. 观点很高。
我是先读的Rudin再去读的一般的实分析，从来没见过开篇就讲抽象测度的，扣完细节之后仍然一脸懵逼。后来看了Folland的实分析，对于Lebesgue理论有了具体把握后，才理解了Rudin那部分的内容。
把习题集单独列出来，是因为一些书的习题内容编排的并不好，甚至没有习题，但这并不影响它们是一本好书。可以用习题集来弥补嘛。
一本好的习题集应该有以下几点要求：
1. 选题得当。
不要有太多计算，不要有太多技巧性强却没有背景的纯技巧题目。最好保证每个题目有一些意义，要么训练某种证明方法，要么告诉你这个题目验证了什么或者否定了什么，要么这个题目本身就是一个很有用的小结论、小定理。
2. 编排得当。
国内很多习题集都是把题目和答案复制粘贴在那就完事，我估计作者都没怎么仔细看那些题目。正确的做法应该是：先给出例题以及解答，这些往往是“题根”，再给出由它衍生出的一些列练习题。在这一节的最后，再给出一组综合题，解答他们需要对之前例题中所用到的方法进行综合运用。
当然，更好的做法是把习题和课本内容做到紧密结合，例如把一些引理或者命题的证明留作习题，到下一节时又恰巧用到这些习题，可以加深学生对习题的印象。
做到这些，需要作者花费不少功夫。
3. 习题集不要有答案，但应有相应的提示。
答案是毁掉一本习题集的罪魁祸首。
可以把困难的大问题分解成几个小问题，一步一步引导学生去做，或者给出一些提示。
字典是用来查阅的，并不要求可读性。
之前说过苏联的教材像百科全书，虽然不适合当教材，但是却适合拿来当字典。有一些知识点没听说过，就去苏联的教材找找吧，一般都会有的。
但是到了研究生的阶段，所谓的字典就是一些理论体系的砖(头)著，一些该领域内综述性的文献等等……
一本好书，总会让你在读完之后有了更高的观点或是新的见解，让你感到恍然大悟又回味无穷……
■网友的回复
GTM系列应该都还不错。
■网友的回复
只关注了分析学，rudin的书和stein的都不错啦
■网友的回复
吴军博士的《The Beauty of Mathematics in Computer Science》非常不错，写的很通俗易懂。
附上链接：https://pan.baidu.com/s/1sv3qfkEiy-syeY4qFzUmLg 提取码：QJ4L
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