『』优化 | 基于曲率的图像处理
『运筹OR帷幄』原创
作者：龚元浩 深圳大学
编者按
基于几何流的传统图像处理方法虽然在理论上比较完善 ， 但这些方法都忽略了一个重要的客观事实 ， 即所要处理的图像并不是可导(光滑)的 。 针对这一问题 ， 高斯曲率滤波提出一种新的滤波算法来优化图像的曲率 。 曲率滤波不要求图像可导 ， 因此可以保持图像的边缘 。 此外 ， 曲率滤波具有保持分段可展曲面的良好特性 ， 不会产生artifacts 。 最后 ， 曲率滤波的处理速度是最新的几何流算法的一千多倍 ， 可以满足绝大多数的应用需求 。
首先 ， 这篇文章基于早前写的英文短文《Curvature Based Image Processing》但是也包含了一些最新的想法 。 谨以此文与图像处理同行共勉 。 正式学术论文：
曲率滤波期刊论文链接
（https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=7835193） 。
（曲率滤波算法比传统的几何流算法快1000到10000倍）
代码：曲率滤波代码
(https://github.com/YuanhaoGong/CurvatureFilter)（所有实验均可重复）
给定一个图像
【『』优化 | 基于曲率的图像处理】
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， 我们可以把它当作一个三维曲面
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。 这样 ， 我们就可以利用经典的微分几何工具来处理该三维曲面 。 假设我们处理后的曲面是
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， 那么我们可以从中提取出处理后的图像
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， 也就是我们处理后的图像 。 整个过程如标题图片所示 。
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基于曲面的图像处理流程
以这种方式进行图像处理的论文非常多 ， 基本的思路都是把图像嵌入三维空间、计算各种曲率（高斯曲率、平均曲率、主曲率等等） ， 然后根据曲率的大小进行各向异性扩散 。 而且这种扩散方程在数学上是非常完善的 ， 也就是经典的几何流 ， 如下图所示 。 这么做看起来顺理成章 ， 理论基础也非常扎实 ， 但其实是忽略了一个非常重要的问题：我们的数字图像通常是离散的 。
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传统的几何流算法
很多读者会问：离散的图像有什么问题？我们还是可以照样计算它的梯度、曲率、方向导数、张量？只不过计算公式被离散化罢了 。 事实上 ， 真的是公式离散化这么简单吗？离散的数字图像的本质问题在于它的不光滑性 。 数学上来说 ， 我们的原始图像可能属于
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而不属于
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。 也就是说它本身就是不可导的 。 对于本身不可导的函数求二阶导数（曲率）的意义是什么呢？
曲率滤波博士论文试图利用图像的离散特性来隐式地优化曲率 ， 即减小曲率而不需要计算曲率 。 这样就不要求最终的结果二次可导 ， 从而对图像边缘进行更好的保护 。 一方面 ， 它利用图像的离散特性; 另一方面 ， 它利用连续的微分几何导出一些有用的结论来保证方法的正确性 。 如何把两者完美地结合起来就非常有挑战性 。
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