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抽屉原理的诀窍 抽屉原理( 二 )


对于任意五个自然数 ， 证明了三个数之和可以被三整除 。
证明了任意数除以3得到的余数只能是0 ， 1 ， 2 。它还可以分别设计成三个抽屉:
[0],[1],[2]
(1)如果这五个自然数除以3得到的余数分别分布在这三个抽屉里 ， 我们就从这三个抽屉里各取一个 ， 它的和就能被3整除 。
②如果这五个余数分布在两个抽屉里 ， 那么一个抽屉里一定有三个余数(鸽子洞原理) ， 这三个余数之和不是0 ， 就是3 ， 就是6 ， 那么对应的三个自然数之和就是3的倍数 。
(3)如果这五个余数分布在其中一个抽屉里 ， 显然 ， 三个自然数之和会被三整除 。
例2 ' ， 对于任意十一个整数 ， 证明其中必有六个 ， 且其和可被六整除 。
证明:设这十一个整数为:a1 ， a2 ， A3...A11和6=2×3 。
(1)首先考虑除以3的情况 。
从例2可以看出 ， 在11个任意整数中 ， 必须有:
3|a1+a2+a3 ， 设A1+A2+A3 = B1；
同样 ， 剩下的8个任意整数中 ， 从例2来看 ， 一定有:3 | a4+a5+a6 。设A4+A5+A6 = B2；
同样 ， 在剩下的五个任意整数中 ， 3|a7+a8+a9 ， 设a7+a8+a9=b3 。
②考虑b1 ， b2 ， b3能被2整除 。
根据鸽子洞原理 ， b1、b2、b3三个整数中至少有两个是偶数或偶数 ， 这两个奇数(或偶数)整数之和一定是偶数 。我们来设定2|b1+b2 。
则:6|b1+b2 ， 即:6|a1+a2+a3+a4+a5+a6 。
∴任意11个整数 ， 其中6个数的和必须是6的倍数 。
例:任意给定七个不同的自然数 ， 证明其中必有两个整数 ， 它们的和或差是10的倍数 。
解析:注意这些团队用10的余数 ， 也就是个位数 ， 以0 ， 1 ， … ， 9为标准 ， 做10个抽屉 ， 分别标为[0] ， [1] ， … ， [9] 。如果两个数落在同一个抽屉里 ， 差是10的倍数 ， 但只有7个自然数 ， 那么应用鸽子洞原理再调整似乎不太方便:[6] ， [9]
(2)面积问题
例:九条直线将一个正方形分成面积比为2:3的梯形 ， 证明九条直线中至少有三条通过同一点 。
证明:如图 ， 设一条直线EF将正方形分成两个梯形 ， 并使之为中心线MN 。因为这两个梯形的高度相等 ， 所以它们的面积比等于中性线的长度比 ， 即|MH|:|NH| 。所以H点有一个确定的位置(它在连接一个正方形的一对对边的中点和| MH |: | NH | = 2: 3的直线上) 。从几何对称性来看 ， 这样的点有四个(即图中的H、J、I、K) 。九条已知的合适分界线中的每一条都必须穿过四个点H、J、I和K中的一个..
(3)染色问题
用红色或蓝色油漆涂立方体的每一面(每一面只能涂一种颜色) ， 证明立方体的三面颜色一定相同 。
证明:如果用两种颜色作为两个抽屉 ， 用一个立方体的六个面作为物体 ， 那么6=2×2+2 。根据原则2 ， 至少有三个面应该涂上相同的颜色 。
有五个孩子 ， 每个孩子从一个有许多黑白围棋子的袋子里随机抽取三个棋子 。请证明这五个孩子中至少有两个有相同的颜色搭配 。
首先要确定三件可以有多少种不同的颜色 ， 包括:3黑2黑1白1黑2白3白 ， 可以看作是四个抽屉 。根据鸽笼原理 ， 至少两个孩子接触到同一个抽屉里的棋子 ， 也就是他们手里的棋子颜色搭配相同 。
例3:假设平面上有任意六个点 ， 没有三个点共线 ， 每两个点用红色或蓝色线段连接 。在它们都连接起来之后 ， 你能找到一个由这些线组成的三角形 ， 使得三角形的三条边颜色相同吗？
解决方法:首先 ， 你可以从这六个点中选择任意一个点 ， 然后用五条线段把这个点和其他五个点连接起来 。如图 ， 这五条线段中至少有三条颜色相同 ， 假设是红色 。现在我们来分别研究这三条红线 。这三段的另一端可以是不同的颜色 。假设三条线段(虚线)中有一条是红色的 ， 这条红色线段和另外两条红色线段将组成我们需要的同一个颜色三角形 。如果这三段都是蓝色 ， 那么这三段也会形成我们需要的同一个颜色三角形 。所以 ， 无论怎么着色 ， 在这六个点之间的所有线段中 ， 至少可以找到一个颜色相同的三角形 。


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