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轰动全球的四色问题 四色定理( 二 )


3、耐人寻味的插曲在通往“四色猜想”的路上 ， 有很多耐人寻味的小插曲 。一位才华横溢、谦虚而有声望的数学家 ， 曾担任爱因斯坦数学导师的闵可夫斯基教授 ， 也因为轻视这道题的难度而开了一个小玩笑 。
事情是这样的 。有一次 ， 他正在给苏黎世大学的研究生上课 。他突发奇想 ， 说起了“四色问题” 。他若无其事地说:“四色猜想之所以没有解决 ， 是因为当今世界一流的数学家还没来得及研究它 。其实解决这个猜想并不一定很难 。”他一边说着 ， 一边拿起粉笔即兴发挥 ， 以为随手一挥就能当场解决这个问题 。他一口气写了几块黑板 ， 没想到越写情况越复杂 ， 越讲线索越多 。他忍不住“挂”了黑板 。即便如此 ， 教授也不气馁 ， 坚信自己有能力揭开谜底 ， 绝不会草率撤军 。第二天 ， 第三天...连续几天不停地说话、数数和写作 。同样的 ， 黑板也是一次比一次“挂” ， 一次比一次尴尬 。闵可夫斯基低估了证明这一猜想所需的工作量 。结果“马辰”式的黑板连续“挂”了好几个星期 ， 弄得他不知所措 ， 只好半途而废 。几周后的一天早上 ， 他筋疲力尽地走进教室 。此时正是电闪雷鸣之时 ， 下着倾盆大雨 。闵可夫斯基十分内疚地说:“唉！看来老天是怪我自大了！四种颜色真的很难猜 。对此我无能为力！”
图4
由于闵可夫斯基在被“四色猜想”空之前就很沮丧 ， 所以“四色问题”和费马大定理、哥德巴赫猜想一样有名 。即便人们乐此不疲 ， 也令人望而生畏 。
4、“四色定理”的例证给出“四色定理”的一般证明并不容易 。但是对于一些特殊情况 ， 我们不难给出一个完美的证明 。为了给读者提供信息 ， 可以以十二面体为例一窥究竟 。
为了绘图的方便和直观 ， 将正十二面体通过“打开”、“展开”、“展平”绘制成平面网络(图5) 。
约定1号面为正面 ， 12号面为背面 ， 2号至6号面称为第一环面 ， 7号至11号面称为第二环面 。此外 ， 如果两种着色方法的相同颜色表面可以通过十二面体的旋转而完全重合 ， 则这两种着色方案被视为相同 。有了这些规定 ， 我们就可以证明以下定理:用四种颜色给十二面体着色 ， 只有四种不同的染色方案 。
图5
可以分三步推断:
第一步是给十二面体上色 。无论任何方案 ， 四种颜色每种都正好用三次(请读者想一想为什么？) 。
第二步 ， 很明显 ， 1号和12号脸一定不能是同一个颜色 。此外 ， 1号面的色调必须与2号环面使用的颜色相匹配；12号表面必须与涂了两遍的第一圈表面颜色相同 。显然 ， 当第一个环面和背面的颜色固定时 ， 其余表面只能用唯一的染色方法着色 。
第三步:从图6可以看出 ， 用四种颜色给十二面体上色 ， 只有十二种方案 。图中每行列出的四个方案互不相同 ， 每列显示的三个方案可以通过旋转重叠 。原来只有四种不同的染色方案 。
图6
5、科学史的殷切嘱望上面的例子说明 ， 当一张地图上的国家数量不超过12个时 ， 四色定理确实成立 。这一成功激励着人们不懈地提高一张图中国家数的上限:1922年 ， 证明了当一张图中国家数不超过25时 ， 四色定理成立；1938年 ， 有人把国家数量提高到32个；1940年 ， 国家增加到35个；1969年 ， 上限被推到39 。也就是说 ， 从1922年到1969年 ， 近半个世纪 ， “四色定理”成立的国家只增加了14个 。这样 ， 为了否定“四色猜想” ， 至少可以设计一个包含40个相邻区域的封闭区域 。
图7
与此同时 ， 也有人从另一方面开辟了一条道路 ， 提出了一系列与四色猜想“等价”的猜想 。只要证实了这些“等价”猜想中的任何一个 ， 那么四色猜想就迎刃而解了 。1972年 ， 有人在一篇论文中列出了多达13个这样的“等价”猜想 ， 但没有人能打开缺口 ， 另辟蹊径 。到了70年代中期 ， 美国伊利诺伊大学的数学家阿佩尔教授和哈肯教授独树一帜 。利用Kemp创立的“必然性”和“配置可约性”的基本思想 ， 他们启动了三台1BM360超高速电子计算机(由大学毕业生Kochi专门为Appell和Hacken组装) ， 运行了1200台计算机后 ， 做出了200亿次逻辑判断 。最后 ， 在1999年 ， 他们做出了以下决定 。为了纪念阿比埃尔和哈肯的成就 ， 伊利诺伊州大学城厄巴纳的邮局盖了“四种颜色就够了！”在它宣布“四色定理”被证明的那一天 。(只有四种颜色就够了)以便记录下这个古老的奇迹 ， 同时将成功的喜讯及时传播到全世界 。


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