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全等三角形如何判定？ 全等三角形( 二 )


例:如图1-1-1:D和e是△ABC中的两点，验证:ab+AC > BD+de+ce 。

(方法1)证明:将DE的两边分别延伸到AB，AC延伸到M和N 。In △AMN，AM+AN > MD+DE+NE；(1)
在△BDM，m b+ MD > BD；(2)
在△CEN，cn+ne > ce；(3)
从(1)+(2)+(3):
AM+AN+m b+ MD+CN+NE > MD+DE+NE+BD+CE
∴AB+AC>BD+DE+EC

(方法二)如图1-2，将BD延伸到AC延伸到F，将CE延伸到BF延伸到G包括△ABF、△GFC和△GDE:
B+AF > BD+DG+GF(三角形两边之和大于第三边)(1)
Gf+fc > ge+ce(同上)(2)
DG+GE > DE(同上)(3)
从(1)+(2)+(3):
a b+ AF+GF+FC+DG+GE > BD+DG+GF+GE+CE+DE
∴AB+AC>BD+DE+EC 。
三
当三角形的外角大于与其不相邻的任何一个内角时，如果不能直接证明，可将两点相连或延伸某一边构成三角形，使待验证三角形的大角位于外角，小角位于三角形的内角，然后利用外角定理:
比如如图2-1所示:已知D是△ABC内的任意一点，验证∠ BDC > ∠ BAC 。

解析:由于∠BDC和∠BAC不在同一个三角形内，没有直接的联系，我们可以适当添加辅助线来构造一个新的三角形，使∠BDC在外角，∠BAC在内角 。
方法一:将BD延伸到E点AC，当∠BDC为△EDC的外角时，
∴ ∠ BDC > ∠ DEC，类似地∠ DEC > ∠ BAC，
∴∠BDC>∠BAC
方法二:连接AD，将BC扩展到f 。
∫∠BDF是△ABD的外角 。
∴ ∠ BDF > ∠ Bad，同理，∠ CDF > ∠ CAD
∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD
也就是∠ BDC > ∠ BAC 。
注意:用三角形外角定理证明不等式时，通常是把大的角放在三角形的外角上，把小的角放在三角形的内角上，然后用不等式性质来证明 。
3.中点的辅助线
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边的中点，那么首先要想到三角形的中线及其相关性质(等腰三角形底的中线性质)，然后通过探索找到解决问题的方法 。
(1)中线将原三角形分成两个面积相等的小三角形 。
即如图1所示，AD是δABC的中线，那么sδABD = sδACD = 1/2sδABC(因为δABD和δACD在同一底同一高) 。

1如图2，ABC，其中AD是中线，将AD延伸到E，使DE=AD，DF是δDCE的中线 。已知δδABC的面积为2，求δδCDF的面积 。
(2)双倍长度中线
给定中点和中线，就要想到倍长中线 。根据中线的性质，一条中线平分中点所在的线段，可以得到一组等边和对角，从而得到一组全等三角形 。如图，将AD扩展到E，使AD=AE，连接BE 。

4.其他辅助线做法
(1)延伸已知边以构建三角形
在一些三角形问题中，将一些两条线段(边)的交点延伸形成封闭图形，可以发现更多的相等关系，有助于解题 。
4.如图4，在△ABC中，AC=BC，∠B = 90°，BD为∠ABC的平分线 。如果从A到直线BD的距离是A，求BE的长度 。

将AD和BC的交付扩展到F，
∠∠DAE+∠AED = 90，∠CBE+∠BEC=90，∠AED=∠BEC，
∴∠DAE=∠CBE，
∫∠ACF =∠BCE = 90，AC = BC，
∴△ACF≌△BCE，
∴BE=AF，
∠∠ABD =∠FBD，∠ADB=∠FDB=90，BD=BD，
∴△ABD≌△FBD，
∴ AD = FD = 1/2AF，AD是a
∴BE=2a
(2)连接四边形的对角线，把四边形的问题变成三角形来求解 。
比如如图8-1所示:AB∨CD，AD∨BC:AB = CD 。

解析:图片是四边形 。我们只学过三角形，必须转化为三角形同余才能求解 。
(3)连接已知点，构造全等三角形 。
例如:已知:如图10-1所示；AC和BD相交于o点，ab = DC，AC = BD，证明:∠ a = ∠ d
解析:要证明∠ A = ∠ D，可以证明其所在的三角形△ABO和△DCO是同余的，但只有两个条件，AB = DC和顶角，用一个条件很难证明它们的同余，只好另找一个三角形同余，即AB = DC，AC = BD，△ AB=DC和△若BC连通 。

(4)取线段的中点，构造全等三角形 。
例如，如图11-1所示:AB = DC，∠ A = ∠ D .证明:∠ ABC = ∠ DCB 。

解析:从AB = DC，∠ A = ∠ D，认为如果取AD的中点N，连接NB和NC，那么SAS公理有△ABN?△DCN，所以BN = CN，∠ ABN = ∠ DCN 。只要证明∠ NBC = ∠ NCB，然后取BC的中点M，连接MN，那么由SSS公理就有△NBM?△NCM，所以∠ NBC = ∠ NCB 。问题证明了 。


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