半正定规划？如何辨别正定和半正定和负定。？ _半正定

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半正定矩阵的半正定矩阵概述
如何辨别正定和半正定和负定。
半正定矩阵理解
什么叫半正定矩阵
半正定矩阵
半正定矩阵

Q1：半正定矩阵的半正定矩阵概述
定义　一个n× n的埃尔米特矩阵M是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z，都有z*Mz > 0，则称M为正定矩阵，其中z* 表示z的共轭转置。当z*Mz > 0弱化为z*Mz≥0时，称M是半正定矩阵由于 M是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的复向量z，z*Mz必然是实数，从而可以与0比较大小.
与正定矩阵相对应，一个n× n的埃尔米特矩阵M是负定矩阵,当且仅当对非零的复向量z都有：z*Mz < 0.
具有对称矩阵A的二次型f=x'Ax
如果对任何非零向量x，都有x'Ax≥0（或x’Ax≤0）成立，且有非零向量x0，使x0'Ax0=0，则称f为半正定（半负定）二次项，矩阵A称为半正定矩阵（半负定矩阵）

Q2：如何辨别正定和半正定和负定。
一、正定矩阵判定：
1、正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
2、若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为正定矩阵的楚列斯基（Cholesky）分解。
3、若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。
二、判定一个矩阵半正定：
1、对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。
2、半正定矩阵：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XT*A*X≥0，就称A为半正定矩阵。
3、A∈Mn（K）是半正定矩阵的充分条件是：A的所有主子式大于或等于零。
三、负定矩阵判定：
1、设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX<0，就称A为负定矩阵。
2、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：-A是正定矩阵。
3、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：$A^{-1}$是负定矩阵。
4、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：A的所有奇数阶顺序主子式小于零，所有偶数阶顺序主子式大于零。
扩展资料：
正定性
n×n的实对称矩阵A如果满足对所有非零向量
对应的二次型:
若Q>0就称A为正定矩阵。若 Q<0则A是一个负定矩阵，若Q>=0则A为半正定矩阵，若A既非半正定，也非半负定，则A为不定矩阵。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。
实对称矩阵A是负定的，如果二次型f(x1,x2,...,xn)=X'AX负定。矩阵负定的充分必要条件是它的特征值都小于零。若矩阵A是n阶负定矩阵，则A的偶数阶顺序主子式大于 0，奇数阶顺序主子式小于 0 。
实对称矩阵A称为半正定的，如果二次型X'AX半正定，即对于任意不为0的实列向量X，有X'AX≥0；
参考资料：百度百科-矩阵
参考资料：百度百科-半正定矩阵
参考资料：百度百科-负定矩阵

Q3：半正定矩阵理解
半正定与正定矩阵统一用半正定矩阵来示例
首先半正定矩阵定义为:
其中X 是向量，M 是变换矩阵
我们换一个思路看这个问题，矩阵变换中，
代表对向量 X进行变换，我们假设变换后的向量为Y，记做Y=MX 。于是半正定矩阵可以写成：
这个是不是很熟悉呢？他是两个向量的内积。同时我们也有公式：
||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度，是他们之间的夹角。于是半正定矩阵意味着
正定、半正定矩阵代表一个向量经过它的变化后的向量与其本身的夹角小于等于90度
Q4：什么叫半正定矩阵
具有对称矩阵A的二次型f=x’Ax，如果对任何非零向量x，都有x’Ax≥0（或x’Ax≤0）成立，且有非零向量x0，使x0'Ax0=0，则称f为半正定（半负定）二次型，矩阵A称为半正定矩阵（半负定矩阵）。即有定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX≥0，就称A为半正定矩阵。判定A是半正定矩阵的充要条件是：A的所有顺序主子式大于或等于零。
Q5：半正定矩阵
矩阵a正定，则对于任意的非零向量x，xax'>0
（a的k阶子式的行列式都大于零<==>a正定）
矩阵a半正定，则对于任意的非零向量x，xax'>=0
（a的k阶余子式的行列式都大于等于零<==>a半正定）