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一文讲明白傅里叶变换！ 傅里叶变换的意义( 二 )


傅立叶变换是一种信号分析方法 。既然是分析方法，那它的目的应该是让问题更简单，而不是更复杂 。傅立叶选择了正弦波而不是方波或者其他波形，这正是它的伟大之处！
正弦波有一个其他任何波形(恒定DC波形除外)都不具备的特性:正弦波输入任何线性系统，出来的都是正弦波，只改变幅度和相位，即输入线性系统的正弦波不会产生新的频率成分(非线性系统如变频器会产生新的频率成分称为谐波) 。将单位振幅不同频率的正弦波输入到线性系统中，通过记录输出正弦波的振幅与频率的关系得到系统的幅频特性，通过记录输出正弦波的相位与频率的关系得到系统的相频特性 。
线性系统是自动控制研究的主要对象 。线性系统有一个特点，就是多个正弦波叠加后输入一个系统，输出是所有正弦波独立输入时对应输出的叠加 。
也就是说，只要研究正弦波的输入输出关系，就可以知道系统对任何输入信号的响应 。
这就是傅立叶变换的主要意义！
四
傅立叶变换怎么求？
文章开头说有成熟的函数可以调用傅立叶变换 。本文只谈如何理解傅里叶变换的思想 。如果你掌握了这个思路，你不需要背公式，也不需要调用任何函数，自己就可以做一个简单的程序 。就算不会编程，只要学过三角函数，至少也能理解傅里叶变换的过程 。
傅立叶的伟大不在于如何进行傅立叶变换，而在于“任何连续的周期信号都可以由一组适当的正弦波组成”这一伟大论断 。
知道了这个断言，只要知道正弦函数的基本特征，变换就不难了 。不用背公式也能实现傅里叶变换！
正弦函数有一个特性叫做正交性，是指任意两个不同频率的正弦波的乘积，在公共周期内其积分等于零 。
这是一个非常有用的功能 。我们可以利用这个特性设计一个检测器(以下简称为检测器A ),如下所示:
探测器由一个乘法器和一个积分器组成 。乘法器的一个输入是已知频率f的单位振幅正弦波(以下简称标准正弦信号f)，另一个输入是待变换的信号 。检测器A的输出只与待变换信号中频率为f的正弦分量的幅度和相位有关 。
待变换的信号可能包含也可能不包含频率为F的分量(以下简称F分量)，简而言之，它可能包含各种频率分量 。总之，要转换的信号是未知的，可能非常复杂！
没关系 。我们先来看看待变换的信号是否含有F分量 。
因为其他频率分量和标准正弦信号F的乘积的积分都等于零，所以检波器A可以假装它们不存在！通过检波器A后，输出中只有一个与F分量有关的量，它等于待变换信号中F分量与标准正弦信号F的乘积的积分 。
很容易得到这样的结论:
如果输出不等于零，说明输入信号中含有F分量！
这个输出是F分量吗？
回答:不一定！
正弦波还具有以下特征:
对于同频率的正弦波，当相位差为90°(正交)时，一个周期内乘积的积分值等于零；当相位相同时，积分值达到最大，等于它们有效值的乘积；当相位相反时，积分值达到最小值，等于它们有效值的乘积 。
我们知道标准正弦信号F的初相位为零，却不知道F分量的初相位！如果F分量与标准正弦信号F之间的相位差正好为90°(或270°)，则检波器A的输出等于零！因此，我们设计了另一个探测器B:
检波器B和检波器A的区别在于，检波器B用标准余弦信号F(与标准正弦信号A有90°相位差)代替滤波器A中的标准正弦信号F 。如果待变换的信号包含F分量，则检测器A和检测器B的至少一个输出不等于零 。
利用三角函数的基本知识，可以证明检波器A和检波器B的输出信号的幅值平方根等于F分量的幅值，与F分量的初相位无关 。检波器B和检波器A的振幅之比等于F分量初始相位的正切，这样就可以得到F分量的相位 。
然后我们把标准正弦信号F和标准余弦信号F的频率替换成我们关心的任意频率，就可以得到输入信号的各种频率成分 。如果输入信号的频率已知，则将该频率作为基频f0，用f0、2f0、3f0依次替换标准正弦信号F和标准余弦信号F的频率，就可以得到输入信号的基波、二次谐波和三次谐波 。
这是傅立叶变换！
什么？不能融合？
没关系 。实际上，在谐波检测器和电能质量分析仪等各种电参数测量仪器中，现在都采用基于交流采样的离散傅里叶变换 。在离散信号处理中，累加就是积分！
傅立叶变换就是这么简单 。你学会了吗？
【一文讲明白傅里叶变换！ 傅里叶变换的意义】


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