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几何化思维下的三角函数微分形式 微分形式

微分形式(几何思维下三角函数的微分形式)
三角函数微分形式的数据都是从纯分析中得来的，逻辑严密，但缺乏直观性 。本文从几何的角度得到了三角函数的直观微分形式 。
【几何化思维下的三角函数微分形式 微分形式】提到三角函数，首先想到的是圆，而单位圆是应用最广泛的圆 。首先我们来看一个单位圆，它的方程是x ^ 2+y ^ 2 = 1 。
那么它的x坐标是cos θ，y坐标是sinθ 。
如果我们将单位圆的旋转半径逆时针增加一个微小的角度δ θ，那么Y坐标也增加一个微小的长度δ Y，具体如下图所示 。
根据你的初中知识，一个圆的弧长=半径x旋转角度 。
所以在单位圆上旋转一个微小的δ θ后，增加的微小弧长就是δ θ，如下图所示 。
为了更好地观察它，我们把它移了出来 。当δθ趋于0时，下图中δθ对应的弧长是一条直线，这也是一个无穷小的概念，所以深色阴影部分是一个微小的直角三角形 。
我们已经知道，当δθ趋于0时，δθ对应的弧长是一条直线，因为直线被弧长降级，弧长和直线逐渐接近并最终重合，所以这条直线就是圆的切线 。既然是切线，根据你的三角知识，有两个相等的α角如下 。
我们接着说，当δ θ在整个单位圆内趋于0时，因为弧长演化为点的切线，那么下面两个三角形一定是相似的，这就好理解了 。
所以根据你掌握的微分知识，δ θ= D θ，δ Y = Dy，因为y=sinθ，这两个三角形相似，所以得出DSIN θ/D θ = δ Y/δ θ = X/1 = COSθ 。
这是由直观的几何关系导出的三角函数的导数形式 。对cosθ的导数也可以这样做，有兴趣的小伙伴可以试试 。


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