2021年新高考一卷数学压轴题，难度大，第二种解法太绝了 _生活百科

2021年高考，江苏、山东、湖南、湖北、河南、广东、福建七个省份使用新高考全国一卷。新高考全国一卷的数学卷相对于全国甲卷和乙卷的数学卷还是有不小的变化。这个变化主要体现在三点：一是不分文理科；二是将4道单选题改为了多选题；三是取消了选做题，22道题均为必做题。

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本文和大家分享的就是今年新高考全国一卷的数学压轴题，也是全卷最后一题。这道题还是考查导数的综合应用，看似简单实则难度很大，特别是第二问，本文和大家分享第二问的两种解法，第二种解法真的太绝了。

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先看第一问：判断单调性。
在这种压轴题判断单调性，一般是先求导，再根据导数的正负确定单调性，即导数大于零为增函数，导数小于零为减函数。
所以先对f(x)求导：f'(x)=1-lnx+x(-1/x)=-lnx 。明显地，当0＜x＜1时，lnx＜0，则-lnx＞0，此时f(x)为增函数；当x＞1时，-lnx＜0，此时f(x)为减函数。

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再看第二问：证明不等式。
首先对题干中的等量关系进行变换，即blna-alnb=a-b变换成[1-ln(1/a)]/a=[1-ln(1/b)]/b 。变换过后容易发现，1/a、1/b都是函数f(x)中函数值相等的点的横坐标。所以接下来就需要代入f(x)进行求解。
先令m=1/a，n=1/b，则f(m)=f(n)，所证结论就变为2＜m+n＜e，即2-m＜n＜e-m 。由于a≠b，所以m≠n 。然后设m＜n，则有0＜m＜1且n＞1 。
先证结论的前半部分，即2-m＜n 。要证这个结论，可以利用f(x)的单调性，但是需要在同一个单调区间内使用。所以需要构造一个新函数g(x)=f(x)-f(2-x)，0＜x＜1 。求导后知道g(x)在(0,1)内为增函数，且0＜m＜1，所以g(m)＜g(1)=0，从而得到f(m)＜f(2-m) 。
又因为f(n)=f(m)，所以f(n)＜f(2-m) 。
又0＜m＜1，所以2-m＞1，且n＞1，f(x)在x＞1上为减函数，所以n＞2-m，即m+n＞2 。

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再证结论的后半部分。可以采用上面一样的方法证明，只是构造的函数变成了h(x)=f(x)-f(e-x) 。详细过程见下图：

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后半部分的证明除了上面构造函数的方法，下面再介绍一个不容易想到但计算更简单的方法。
由于当x从右边趋近于0时，f(x)的极限为0，所以1＜n＜e 。
又f(x)在点(e,0)处的切线方程为：φ(x)=-x+e，接下来构造新函数ψ(x)=f(x)-φ(x)=2x-xlnx-e(0＜x＜e) 。然后通过求导判断单调性得到ψ(x)＜0，即f(x)＜φ(x)，则有f(m)＜φ(m)，即f(n)＜φ(m) 。
又1＜n＜e，所以f(n)=n(1-lnn)＞n，即n＜φ(m)=-m+e，所以m+n＜e 。