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基本初等函数的图像与性质 初等函数


基本初等函数的图像与性质 初等函数

文章插图
初等函数(基本初等函数的图像和性质)
在数学的发展中，形成了最简单、最常用的六种函数，即常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数 。这六种函数称为基本初等函数 。
一、恒定功能信息资源网络
Y = c或f (x) = c，x ∈ R，其中c为常数 。它的像是一条通过点(0，c)且平行于X轴的直线，如下图所示:
常数函数图像
常数的属性:
1.常数函数是有界函数，周期函数(无最小正周期)，偶函数；
2.常数函数既是单调递增函数，又是单调递减函数，特别是当c = 0时，它仍然是一个奇函数 。
第二，权力功能
1.y = x^a形式的函数是幂函数，其中a是实数 。
幂函数图(1)
2.常见幂函数图像:
幂函数图(2)
注意:画幂函数图像时，先画第一象限，然后根据函数的奇偶性完成整幅图像 。
3.幂函数的性质:
【基本初等函数的图像与性质 初等函数】①幂函数的图像最多只能出现在两个象限，不经过第四象限；如果与信息资源网的坐标轴相交，交点必须是坐标的原点 。
②所有的幂函数都定义在(0，+∞)，图像都经过点(1，1) 。
③若a > 0，则幂函数图像都经过点(0，0)和(1，1)，在第一象限增加；
如果a < 0，则幂函数图像仅通过点(1，1)，并在第一象限减少 。
第三，指数函数
1.一般来说，函数y = a^x (a > 0且a ≠ 1)称为指数函数，自变量x称为指数，a称为基，函数的定义域为r..
2.指数函数图像:
指数函数图像
3.指数函数的性质:
①指数函数y = a^x (a > 0且a ≠ 1)总是大于零，其定义域r，取值范围(0，+∞)；
②指数函数y = a^x (a > 0且a ≠ 1)的图像通过点(0，1)；
③指数函数y = a^x (a > 1)在r上增加，指数函数y = a^x (0 < a < 1)在r上减少
四 。对数函数
1.对数及其运算:
一般如果a的幂(a > 0，a ≠ 1)等于n，即a^b = N，则称b为以a为底的n的对数；
注:logaN = b，其中A称为对数的底数，N称为实数 。
根据对数定义:
①零和负数没有对数，真数大于零；②1的对数是0，即log a1 = 0；
③底部的对数等于1，即logaa = 1；④对数恒等式:a^(logaN) = N成立 。
通常以10为底的对数称为普通对数，普通对数log10N缩写为lgN；
无理数的对数e = 2.71828...称为自然对数，自然对数logeN缩写为lnN 。
对数运算性质:若a > 0，a ≠ 1，M > 0，N > 0，则:
对数运算特性图
2.对数函数:
一般来说，对数函数y = logax (a > 0且a ≠ 1)是指数函数y = a^x (a > 0且a ≠ 1)的反函数 。
因为指数函数y = a^x (a > 0且a ≠ 1)的值域是(0，+∞)，
所以对数函数y = logax (a > 0且a ≠ 1)的定义域是(0，+∞) 。
3.对数函数图像:
对数函数图像
4.对数函数y = logax (a > 0且a ≠ 1)的性质:
①对数函数y = logax (a > 0且a ≠ 1)的图像都在Y轴右侧，定义域为(0，+∞)，值域为R；
②对数函数y = logax (a > 0且a ≠ 1)的图像都通过点(1，0)；
③对数函数y = logax (a > 1):当x > 1时，y > 0；当0 < x < 1时y < 0；
对数函数y = logax (0 < a < 1):当x > 1时，y < 0；当0 < x < 1时，Y > 0 。
④对数函数y = logax (a > 1)是(0)上的增函数 。+∞),
对数函数y = logax (0 < a < 1)是(0 。+∞).
三角函数和反三角函数
1.三角函数:y = sin x，y = cos x，y = tan x，y = cot x；
2.反三角函数:y = arcsin x，y = arccos x，y = arctan x，y = arccot x 。
3.三角函数图像:
三角形图像(1)
三角形图像(2)
4.三角函数的性质:
三角函数的性质图
注:任何由基本初等函数的有限个四则运算和有限个组合生成的函数，称为初等函数 。
狄利克雷函数D(x)，符号函数sgn x，整数函数[x]等等都不是初等信息资源网络函数 。
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