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简洁透彻讲解傅立叶变换及其在AI中的应用 什么是傅立叶定律


简洁透彻讲解傅立叶变换及其在AI中的应用 什么是傅立叶定律

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傅里叶变换的作用是把我们从时域移到频域 。

介绍傅立叶变换是历史上最深刻的数学见解之一，但遗憾的是，它的意义却深深地埋藏在一些荒谬的方程式中 。
傅里叶变换是一种将某物分解成一堆正弦波的方法 。像往常一样，这个名字来自一位生活在很久以前的数学家 。他的名字叫傅立叶 。
用数学术语来说，傅里叶变换是一种将信号转换成其分量和频率的技术 。
傅立叶变换不仅广泛应用于信号处理(无线电、声音等) 。)，但也用于图像分析(例如傅立叶变换) 。边缘检测、图像滤波、图像重建和图像压缩 。例如:透射电镜图像的傅里叶变换有助于检查样品的周期性 。周期性-指示模式 。数据的傅立叶变换可以扩展关于分析样本的可访问信息 。为了更好地理解它，考虑信号x(t):

如果我们对另一个信号做同样的操作，选择同样的时间点，我们将测量它的振幅 。
考虑另一个信号y(t):

当我们同时发送这两个信号或将它们相加时会发生什么？
当我们同时传输这两个信号时，我们会得到一个新的信号，它是这两个信号幅度的总和 。这是因为这两个信号加在一起 。
将两个信号相加:z(t)= x(t)+ y(t)

如果只给定一个信号(x(t)和y(t)的和)，我们能恢复原来的信号x(t)和y(t)吗？
是的 。这是傅里叶变换的功能 。它吸收信号并将其分解成其组成频率 。
在我们的例子中，傅里叶变换将把信号z(t)分解成它的分量频率，例如信号x(t)和y(t) 。
傅里叶变换的作用是把我们从时域移到频域 。

如果有人怀疑，是不是应该从频域回到时域？
我们可以在信息资源网络中使用傅里叶逆变换(IFT) 。
"时域中的任何连续信号都可以用无限多的正弦波来唯一地表示."
这是什么意思？这意味着，如果我们有某个函数产生的信号，那么x(t)可以提出另一个函数，而f(t)例如:

因此，无论信号有多强，我们都可以找到一个函数f(t)，它是无穷多个正弦曲线的和，实际上可以完美地表示信号 。
现在的问题是如何找到上述公式中的系数，因为这些值将决定输出的形状，从而决定信号的形状 。

因此，为了获得这些系数，我们使用傅里叶变换，傅里叶变换的结果是一组系数 。因此，我们用X(w)表示傅里叶系数，它是频率的函数，通过求解以下积分得到:
傅立叶变换表示为不定积分:
X(w):傅里叶变换x(t):傅里叶逆变换



傅里叶变换和逆傅里叶变换同样，当我们实际求解上述积分时，我们会在下面的位置得到这些复数A和B对应的所需系数 。
连续傅里叶变换将无限持续时间的时域信号转换成由无限个正弦波组成的连续频谱 。事实上，我们正在处理离散采样的信号，通常是定期、有限持续时间或周期性的 。为此，经典的傅里叶变换算法可以表示为离散傅里叶变换(DFT)，它将函数的有限等距样本序列变换为离散时间的等长等距样本序列的傅里叶变换:

因此，这本质上是一个离散傅里叶变换 。我们可以进行这种计算，并将产生一个复数，形式为傅立叶级数中有两个系数a+ib 。
现在，我们知道如何对信号进行采样，以及如何应用离散傅里叶变换 。我们最不想做的就是去掉复数I，因为它不支持的mllib或systemML使用了一些叫做欧拉公式的规则:

由于信息资源网络化，如果将欧拉公式代入傅里叶变换方程求解，会产生实部和虚部 。

x由复数a+ib或a-ib组成 。因此，如果求解上述方程，将获得傅立叶系数A和B 。


现在，如果只有A和B的值放在等式中，f(t)可以根据信号的频率来定义信号 。
在一般实践中，我们使用快速傅立叶变换(FFT)算法，该算法递归地将DFT分成更小的DFT，从而大大减少了所需的计算时间 。离散傅立叶变换的时间复杂度为2N，而快速傅立叶变换的时间复杂度为2N 。
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