梯度下降算法详解 _梯度下降

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介绍
如果说在机器学习领域有哪个优化算法最广为认知，用途最广，非梯度下降算法莫属。梯度下降算法是一种非常经典的求极小值的算法，比如在线性回归里我们可以用最小二乘法去解析最优解，但是其中会涉及到对矩阵求逆，由于多重共线性问题的存在是很让人难受的，无论进行L1正则化的Lasso回归还是L2正则化的岭回归，其实并不让人满意，因为它们的产生是为了修复此漏洞，而不是为了提升模型效果，甚至使模型效果下降。但是换一种思路，比如用梯度下降算法去优化线性回归的损失函数，完全就可以不用考虑多重共线性带来的问题。其实不仅是线性回归，逻辑回归同样是可以用梯度下降进行优化，因为这两个算法的损失函数都是严格意义上的凸函数，即存在全局唯一极小值，较小的学习率和足够的迭代次数，一定可以达到最小值附近，满足精度要求是完全没有问题的。并且随着特征数目的增多（列如100000），梯度下降的效率将远高于去解析标准方程的逆矩阵。神经网络中的后向传播算法其实就是在进行梯度下降，GDBT(梯度提升树)每增加一个弱学习器（CART回归树）,近似于进行一次梯度下降，因为每一棵回归树的目的都是去拟合此时损失函数的负梯度，这也可以说明为什么GDBT往往没XGBoost的效率高，因为它没办法拟合真正的负梯度，而Xgboost 的每增加的一个弱学习器是使得损失函数下降最快的解析解。总之梯度下降算法的用处十分广泛，我们有必要对它进行更加深入的理解。
关于梯度下降算法的直观理解

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关于梯度下降算法的直观理解，我们以一个人下山为例。比如刚开始的初始位置是在红色的山顶位置，那么现在的问题是该如何达到蓝色的山底呢？按照梯度下降算法的思想，它将按如下操作达到最低点：
第一步，明确自己现在所处的位置
第二步，找到相对于该位置而言下降最快的方向
第三步，沿着第二步找到的方向走一小步，到达一个新的位置，此时的位置肯定比原来低
第四部，回到第一步
第五步，终止于最低点
按照以上5步，最终达到最低点，这就是梯度下降的完整流程。当然你可能会说，上图不是有不同的路径吗？是的，因为上图并不是标准的凸函数，往往不能找到最小值，只能找到局部极小值。所以你可以用不同的初始位置进行梯度下降，来寻找更小的极小值点，当然如果损失函数是凸函数就没必要了，开开心心的进行梯度下降吧！比如下面这种：

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问题是，如何用数学语言去描述以上5步呢？
梯度下降算法的理论推导一元函数
一元函数的导数我相信大家都学过，其几何意义是某点切线的斜率，除此之外它还能表示函数在该点的变化率，导数越大，说明函数在该点的变化越大。

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则导函数本身则代表着函数沿着ｘ方向的变化率
二元函数
对于二元函数，ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ），它对ｘ和ｙ的偏导数分别表示如下：
函数在ｙ方向不变的情况下，函数值沿ｘ方向的变化率
函数在ｘ方向不变的情况下，函数值沿ｙ方向的变化率
有了以上的了解，我们分别知道了函数在单独在ｘ和ｙ方向上的变化率
现在有一个问题，我想知道函数在其他方向上的变化率怎么办？
比如下图中的ｕ方向上：