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圆面积的算法“化圆为方”导语：当西方的数学体系传入中国，中国的学者在感叹其先进而自成体系时，也对中国古代数学研究的发展脉络进行了梳理，最终认为，中国古代数学家们的“勾股术”、“重差术”、“天元术”、“四元术”等，其实也就是西方数学的源头。明清之际，西方的数学体系传入中国，中国的学者们在震惊之余，也不断反思，梳理中国古代数学发展的脉络，探究中国古代数学与当时的西方数学间的异同。经过一番研究比较，人们认为，当时的西方数学知识固然先进而自成体系，但其实也是中国“古已有之”的，不足为奇。康熙皇帝时代，“西学中源”说被不少学者认同，他们认为：商高、陈子等人的“勾股术”，刘徽的“重差术”，就是西方几何学的源头，李冶、朱世杰的“天元术”、“四元术”，就是西方代数学的源头，杨辉、朱世杰等人的“垛积术”，就是西方微积分的源头，等等。这种思想的形成，无疑源自长期以来中国人“古老而骄傲的”民族性格，我们的古人在数学方面付出了极大的努力，做出了巨大的贡献，让我们不要忘记这些光荣的名字：商高、陈子、刘徽、祖冲之、祖暅、沈括、秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰……“夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，数安从出？”（小）——周公（《周髀算经》）三千多年前的某一天，周朝的著名政治家周公在周王的花园里，碰到了数学家商高。周公问商高：你们这帮数学家不是故弄玄虚的吧？什么天有多高地有多大，日月星辰一天走几度，怎么你们都知道啊？“夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，数安从出？”商高从容回答：数学家的学问，妙就妙在并非什么都要用尺子来量，只须通过数学计算，一样可以得到正确的数字。比如这个直角三角形——他用一根牛的大腿骨和一段绳子作道具，比比划划，向周公解说：牛的大腿骨立在地上，高四尺，从牛骨的底端沿地面伸开一段绳子，使这段绳子正好长三尺，再将余下的绳子折向牛骨的顶端，请问，最后这一段斜向牛骨顶端的绳子，应该长几尺？不须用尺子量，它的长度一定是五尺。可见，数学家能算出太阳的高度来，不是什么稀奇事。商高总结说：在一个直角三角形中，如果两条直角边的长度分别是三和四，那么斜边的长度一定是五，“勾三股四弦五”，这一个著名的论断被记载在著名的《周髀算经》一书里，这就是后人所熟知的“勾股定理”的一个特例。勾股定理作为一个大自然的秘密，注定要被世界上各个地方的人们分别发现，或早或晚，因为这个定理就隐藏在人们的身边，在每一个直角三角形里，除非你永远不盖房子，不造马车，不修陵墓，不建金字塔，否则，这个秘密就会不可避免地被人们发现。在中国，勾股定理的发现被归在这个名叫商高的数学家兼天文学家的名下，所以后来又有人称它为“商高定理”。当然，如果仅仅有“勾三股四弦五”这一句话，那还不算真正全面阐述了勾股定理的内容，“勾三股四弦五”只是勾股定理的一个特例。若干年以后，周公的后人陈子也成了一个数学家，他曾详细讲述了运用勾股定理测量太阳高度的全套方案，为此，陈子说了一句更为重要的话，同样被记载在《周髀算经》这部书里，他说：“求斜至日者，以日下为句，以日高为股，句股各自乘，并以开方除之，得斜至日。”
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《海岛算经》插图在商高和陈子的时代，人们以为脚下的大地是一个大得没边的平面，只要知道了从观察点到太阳正下方的距离，知道了太阳离地面的垂直高度，当然就可以求出太阳到观察者的直线距离了，从观察点到太阳的正下方是勾（“以日下为句”），太阳到地面的垂直距离是股（“以日高为股”），剩下观察点到太阳的距离，就是弦（“斜至日”），如此如此，求“斜至日”的办法是“勾股各自乘，并开方除之”：勾和股先自己乘自己一遍，加起来的和再开平方，就得到了弦长。虽然和我们今天对勾股定理的表述在习惯上有所不同，但这也是对勾股定理的完整表达。据《周髀算经》记载，陈子和他的科研小组测得日下六万里，日高八万里，根据勾股定理，求得斜至日整十万里。他进而还算出了太阳的直径，为了达到这个目的，他用一只长八尺，直径一寸的空心竹筒来观察太阳，让太阳恰好装满竹筒的圆孔，这时候太阳的直径与它到观察者之间的距离，其比例正好是竹筒直径和长度的比例，即一比八十。可惜，这些结论都是错的！“此亦望远起高之术……”（小）——陈子（《周髀算经》）看起来，陈子是当时的数学权威，《周髀算经》这本书，除了最前面一节提到商高以外，余下的部分说的都是陈子的事情。一天，一位名叫荣方的人跑来请教陈子：听说根据先生的学问，可以算出太阳有多高多大，一天之中太阳行多少里，天有多高地有多远，总之想知道什么就知道什么，是这样吗？陈子回答：然。等了一阵不见下文，荣方只好再问：“方虽不省，愿夫子幸而说之。”陈子回答：其实也没什么难的，不过是运用一些算术的方法就足够了，你回去好好思考一下吧。就这样把荣方打发回去了。荣方回去想了好几天，还是想不出有什么好办法可以算出太阳的高度来，只好又去请教陈子：“方思之不能得，敢请问之。”陈子曰：“思之未熟。此亦‘望远起高之术’，而子不能得，则子之于数，未能通类，是智有所不及，而神有所穷。”一点也不客气地批评了荣方。
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