|一起推导自然数平方、立方甚至更高次方的前n项和公式
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【|一起推导自然数平方、立方甚至更高次方的前n项和公式】
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我们已知 ， 自然数数列是一种等差数列
其前n项和很容易求出
自然数平方的前n项和那么通项公式如下形式的自然数平方的数列 ， 其前n项和如何求解呢？
假设其前n项和为Tn
观察下列等式
将等式中的x替换成自然数1~n ， 可得到一系列等式
我们将这n个等式相加 ， 可得
那么我们就可得到自然数平方数列的前n项和公式
我们通过一系列等式相加、错位相消 ， 得到自然数平方的前n项和、自然数前n项和的关系 ， 从而计算出自然数平方的前n项和 。
自然数立方的前n项和利用这种方法我们 ， 再来看如何求自然数三次方数列的前n项和
我们首先计算出类似的等式
等式右边出现三次项、二次项、一次项和常数项 ， 由于我们已经计算出二次项和一次项的n项和 ， 三次项就可以用其表示出来 ， 推导过程如下
将x替换成自然数1~n ， 得到n个等式
将上述一系列等式相加 ， 可得
那么自然数三次方数列的前n项和为
向高次方推广利用这个方法可继续求解自然数更高次方前n项和公式 ， 我就不在这里展示了 ， 大家有兴趣的话可自行推导 。
学习数学就要注重方法的学习 ， 学会了这些方法就可以自己手推公式了！
本文由小朱与数学原创 ， 欢迎关注 ， 带你一起长知识！
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