新浪科技综合@“最大数之父”葛立恒逝世，这位20世纪数学巨匠，也是位杂技演员新浪科技综合2020-07-09 19:47:270阅( 二 )
一个高德纳箭头表示普通的指数：
3↑3 = 33 = 27
两个高德纳箭头表示指数嵌套的层数：
3↑↑3 = 3↑（3↑3）=3↑27 = 327 = 7625597484987
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图10/17三个高德纳箭头是把二重箭头再算一遍：
3↑↑↑3 = 3↑↑（3↑↑3） = 3↑↑7625597484987 = ……
更直观的表示是这样的 ， 总共嵌套了7625597484987层指数：
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图11/17算到这里 ， 3↑↑↑3已经是一个“天文”数字 。 算出它不可能 ， 就是把它所有的指数写下来 ， 也需要天文级别长度的纸条 。
因为 ， 如果我们每隔2厘米写一个3 ， 那么得从地球写到太阳表面 。
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图12/17图片来源：waitbutwhy四个高德纳箭头就是把三箭头再嵌套一次：
3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑（3↑↑↑3） = 3↑↑↑（一个需要写到太阳的数） = ？？？
随着箭头的增长 ， 数字的增长速度比指数函数不知道快多少倍 。
然而这还仅仅是葛立恒数的第一层 ， 也就是第二层的箭头数 ， 第二层的数又是第三层的箭头数 ， …… ， 葛立恒数这个“老千层饼”总共有64层 。
这个数到底有多大？大到你的脑洞变成黑洞也装不下 。
我们不仅没法算出来葛立恒数 ， 甚至连葛立恒数位数的位数也无从知晓 。
全宇宙的原子数量在葛立恒数面前就是0 。 假如你的脑子要装下葛立恒数 ， 存储这个数的信息熵会大到让你的脑子变成黑洞 。
至于葛立恒数的最后500位是这样的：
… 02425950695064738395657479136519351798334535362521430035401260267716226721604198106522631693551887803881448314065252616878509555264605107117200099709291249544378887496062882911725063001303622934916080254594614945788714278323508292421020918258967535604308699380168924988926809951016905591995119502788717830837018340236474548882222161573228010132974509273445945043433009010969280253527518332898844615089404248265018193851562535796399618993967905496638003222348723967018485186439059104575627262195195387
葛立恒数有什么用
为了防杠 ， 在这里我们需要强调：比葛立恒数大的数还有无穷多个！
比如给葛立恒数加一、乘二 ， 都能得到比它更大的数 ， 但这些数字都没有具体的数学意义 。
葛立恒数是有数学意义的最大数字（直到TREE（3）出现） 。
那么 ， 一个研究离散数学的人是怎样和巨大数字打起了交道？这要从葛立恒研究的图论说起 。
葛立恒当年研究了拉姆齐理论中的一个问题：给n维立方体的边上色 。 我们先从最简单的二维立方体 ， 也就是正方形说起 。
正方形总有有4个顶点 ， 把这些顶点全部两两连起来 ， 总共会有6条线 。 这种把所有点全部连起来的图 ， 在数学上叫做完全图 。
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图13/17图片来源：YouTube @Numberphile如果我们规定6条边只能涂上红蓝两种颜色 ， 那么在一个平面里会不会有单色的完全图呢？
葛立恒在5年前的科普视频里告诉我们 ， 在正方形上 ， 确实可以找到一种涂色方法 ， 可以不出现单色的完全图 。
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图14/17红色边所连3点没有构成完全图 ， 因为底边是蓝色（来源同上）那么到了3维情况会如何？立方体顶点间总共有28条连线 ， 给它们按照以下方式上色 。
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图15/17你注意到了吗？有一个斜的平面中有个单色完全图 ， 可是如果我们把最下面的边换成蓝色 ， 那么就不能在任意一个平面内找到单色完全图了 。
如果到4维、5维、6维……空间中的立方体 ， 是不是存在一种涂色方法 ， 让人找不到平面内的单色完全图呢？
通过具体的例子 ， 我们发现2维、3维中立方体中 ， 确实能找到这样的涂色方法、但是数学家们发现 ， 当维度n大于一个数后 ， 就再也找不到符合要求的涂色方法了 。
至于n到底有多大 ， 数学家到现在也没有完全证明 ， 只能给出一个范围 。
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图16/17数学家已经证明n≥13（来源同上）而葛立恒证明 ， 这个n最大不会超过葛立恒数 。
《科学美国人》杂志的专栏作家Martin Gardner在大众科普中介绍了上述问题 ， 葛立恒数的名称由此而来 。
Gardner在文章里这样描述葛立恒数：
“其范围如此之大 ， 以至是严肃数学证明中使用的最大数 。 ”
虽然后来有更大的TREE（3）超越它 ， 但是葛立恒数已经如此深入人心 ， 以至于人们一提到最大数 ， 首先就想到它 。
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