今日必看|尺规作图：角平分线、垂直平分线、过线外一点作线的垂线
【今日必看|尺规作图：角平分线、垂直平分线、过线外一点作线的垂线】初中尺规作图要会画的三类线：角平分线、垂直平分线、过线外一点作线的垂线 ， 第三类也叫找垂足或找垂线段 。
角平分线：从一个角的顶点出发 ， 把这个角分成两个相等的角的射线
尺规作图步骤：（以作∠ABC的角平分线为例）①任意选取半径 ， 以角的顶点点B为圆心画圆弧 ， 与∠ABC的两边分别交于点M、N；
②取一半径满意r >1/2MN ， 分别以M、N为圆心 ， 画等半径的圆弧 ， 交于点O；
③以B为端点 ， 过O作射线BO ， 射线BO就是∠ABC的角平分线.
本文插图
如何证实射线BO是∠ABC的角平分线？
本文插图
相关性质与结论：（1）角平分线是一条射线 ， 而不是一条直线或线段；
（2）角平分线上的点到角两边的间隔相等.
（3）在角的内部 ， 到角两边间隔相等的点 ， 一定在这个角的角平分线上
垂直平分线：经由线段中点并且垂直于这条线段的直线
尺规作图步骤：（以作线段AB的垂直平分线为例）①选一半径满意r >1/2AB ， 分别以A、B为圆心 ， 在线段AB的上方画圆弧交于点P；
②选一半径满意r >1/2AB（可与①中的半径一致） ， 分别以A、B为圆心 ， 在线段AB的下方画圆弧交于点Q；
③过P、Q作直线PQ ， 直线PQ即为线段AB的垂直平分线.
本文插图
为什么这样画直线PQ就是线段AB的垂直平分线？
本文插图
相关性质与结论：（1）垂直平分线上的点与线段两个端点的间隔相等；
（2）与一条线段两个端点间隔相等的点 ， 一定在这条线段的垂直平分线上；
（3）假如两点到线段的两个端点的间隔相等 ， 那么这两点所在的直线就是该线段的垂直平分线.
过线外一点作直线的垂线
尺规作图步骤：（以过P作L的垂线为例）①以P为观察点 ， 分别在直线L的左、右两侧任取两点M、N；
②以M为圆心 ， MP为半径在直线L的下方画圆弧；以N为圆心 ， NP为半径在直线L的下方画圆弧 ， 两圆弧交于点Q；
③过PQ作直线PQ ， 则直线PQ垂直于直线L ， 即为所求.
本文插图
为何直线PQ是直线L的垂线？
本文插图
增补说明：这个作图方法也可以用来找垂足O、垂线段PO相关性质与结论：（1）在统一平面内 ， 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 ， 垂线段最短；
（3）留意：垂线与垂线段都具有垂直已知直线的特征 ， 但垂线是一条直线 ， 不能度量；而垂线段是一条线段 ， 可以度量 ， 它是垂线的一部分
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