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蚌埠@初中数学备考必刷038-原来正方形夹半角模型还可这么考！


蚌埠@初中数学备考必刷038-原来正方形夹半角模型还可这么考！
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蚌埠@初中数学备考必刷038-原来正方形夹半角模型还可这么考！
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正方形是八年级下学期的教学重点也是考试重点 ， 期中和期末考试里都经常出现 ， 而且往往会是压轴题 。 提前研究好正方形 ， 说不定你可以轻松搞定压轴题 ， 拿个高分 。
今天给大家分享的是武汉硚口区2020年八下数学期中考试的压轴题 ， 考查的是正方形夹半角模型 ， 第一问送分题 ， 后面的两个问题就考查变通能力了 。
我们先来看看题目：
武汉硚口区2020八下期中考试压轴题.
(1)如图1 ， 正方形ABCD ， ∠EAF=45° ， E在BC上 ， F在CD上 ， 求证BE+DF=EF
(2)如图2 ， 正方形ABCDPA与PB交于P点 ， 角APB=45° ， CH=3 ， GH=1求AG.
(3)如图3 ， 在长方形ABCD中∠EAF=45° ， E在BC上 ， F在CD上 ， DF:AD:AB=1:2:4求BE和CE的数量关系 。
（1）问很简单 ， 这是一个典型的正方形夹半角模型 。
证明：如图1-1延长CD至M ， 使MD=BE连接AM.
在△ABE和△ADM中：AB=AD∠ABE=∠ADMBE=DM
∴△ABE△ADM
∴∠MAD=∠EAB∠MAD+∠DAF=45° ，  AM=AE
在△AMF和△AEF中：AM=AE∠MAF=∠EAF=45° ， AF=AF
∴△AMF△AEF
∴EF=MF=MD+DF=BE+DF
(2)分析与解答：根据正方形夹半角模型来看 ， 至少需要具备以下三个典型特征：
正方形 ， 45°角 ， 45°角的顶点与正方形的某个顶点重合
【蚌埠@初中数学备考必刷038-原来正方形夹半角模型还可这么考！】此题中已给出了正方形 ， 但是另外两个特征不明显 ， 我么就需要做出辅助线来满足45°角和45°角的顶点与正方形的某个顶点重合的特征 。
题目已经给出了∠APB=45° ， 只需作AM⊥PB交BP于N ， 交BC于M ， 这样就有完整的正方形夹半角模型呈现出来 。 并且还具备正方形中的十字架模型特征：AM⊥BH.
简解：作AM⊥BP分别交BP于N ， 交BC于M ， 连GM 。
易证：△ABM△BCH(ASA)所以BM=CH=3.
设DG=m根据第一问结论可知GM=DG+BM=m+3.
CM=BC-BM=DC-BM=m+1+3-3=m+1
在Rt△CMG中：
(GM^2)=(MC^2)+(GC^2)解：m=2.
AD=DC=m+4=6DG=2易求AG=2√(10).
（3）分析与解答：根据正方形夹半角模型来看 ， 至少需要具备以下三个典型特征：正方形 ， 45°角 ， 45°角的顶点与正方形的某个顶点重合 。
此题中已给出了45°角 ， 并且45°角的顶点与长方形的顶点A重合 ， 那我们就构造正方形 。
构造正方形有两种方式：
法1：如图3-1 ， 根据AD:AB=2:4取AB中点M ， 作MN垂直DC则四边形ADNM是正方形MN交AE于G连GF.
法2：如图3-2 ， 根据AD:AB=2:4分别倍长AD和BC至MN.连MN则四边形AMNB是正方形 。 EK ， 延长AF交MN于K.
法3：12345模型秒解：DF:AD=1:2则BE:AB=1:3


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