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最优时间乘电梯问题

【最优时间乘电梯问题】 n层住宅住哪一层等电梯时间最短？先说结论：无论是纯粹的等电梯时间还是等待加乘坐时间都与所在楼层成正相关，所在楼层越高时间越长且都属于二次幂增长（除极端忙碌的情况2为等待时间各楼层一样，乘坐加等待时间与所在楼层成正比增长）。但若再考虑满员，则高于易满员楼层的楼层在下楼时又具有一定优势。先作几个假设：1.一般电梯出厂有基层设定，就是待机一段时间自动返回基层，有的默认设1楼，可以取消和修改，对电梯寿命和能耗影响不大，假设取消基层，上次电梯停哪就在哪待机。2.除了1楼完全不用电梯外，其他楼层包括2层全都只用电梯不用楼梯，不串门也不去地下车库和露台只去自己家，并且出入都是等概率真随机，因此可以简化为2至顶层每层每户每天只进出1次。则毫无疑问1层最短因为不用等，应该讨论的是哪层第2。解：设顶层为n（n≥2），情况1：先不考虑搭便车或等别人的情况（假设使用频率极低使两者同时使用的概率可忽略），继续简化为每层只有1位业主每天只进出1次1层业主不用，2层业主停1层1次停2层1次(不算进入只算出电梯并待机的楼层)....n层业主停1层1次停n层1次，合计1层停n-1次，2至n层各停1次，共2n-2次，电梯有1/2的概率停在第一层待机，剩下每层的待机概率为1/(2(n-1))。则电梯待机时停靠的期望楼层为((n-1)+2*1+...n*1)/(2n-2)=(1+n/4)层，但并不是除1层外离这个数字越近的层等电梯时间在统计上越短，因为虽然E=m-E，但是此时要求的是E，这个时候就不等于Abs]了,而是要用条件概率拆开来求条件期望值。设电梯每层运动时间为1(停靠时间都相等暂不考虑)，则第k层下楼平均等待时间期望E(T等下)=(k-1)*1/2+(k-2+1)(k-2)/2*1/(2(n-1))+(n-k+0)(n-k+1)/2*1/(2(n-1))=(2k^2-6k+n^2-n+4)/(4n-4),上楼平均等待时间各层都一样为E(T等上)=0*1/2+(n-1+1)(n-1)/2*1/(2(n-1))=n/4（所以各层平均等待时间的长短只取决于下楼平均等待时间的长短）,上下等待时间之和为E(T等)=(k^2-3k+n^2-n+2)/(2n-2)。此二次函数在k=1.5时有最小值为n/2-0.125/(n-1),又因k≥2，所以k=2时有最小值为n/2,因此等待时间1层最短，2层第2，越高则越久且成二次幂增长。如果加上上楼和下楼乘坐时间2(k-1)，则等待加乘坐的期望时间为E(T全)=(k^2+(7-4n)k+n^2-5n+6)/(2n-2)。此二次函数在k=3.5-2n时有最小值，又因n≥2，故3.5-2n\u0026lt;0,又因k≥2，所以k=2时有最小值为2+n/2,仍然是1层最短，2层第2，越高则越久且成二次幂增长。--------------------------但如果提高每人电梯使用频率，或增大业主人数，或减少电梯部数，或增加楼层高度，或降低电梯运行和停靠速度，则搭便车或等别人的情况会越来越多--------------------------情况2：先假设最极端情况，频率高到（或速度慢到）每层都随时有人使用，以至于电梯永远在1层和顶层之间垂直往返循环，且每层都停，且不考虑停靠时间差异及满员，设每层运动加停靠时间为1则第k层业主(k≥2):当电梯从1层到顶层再回到1层的过程中，第k层业主开始等待时，电梯正好在某层时所需的等待加乘坐时间，构成2组数列：下楼时间数列：2n-2(在1层)，...，n-1(在顶层)，...，k-1(刚好赶上)，k+2n-4(刚好错过)，...，2n-1(在2层)，上楼时间数列：k-1(刚好赶上)，k+2n-4(刚好错过)，...，k(在2层)，两组都等于同一数列：k-1，...，k+2n-4，共n-1项由于电梯一直在上下往返且每层都停且不考虑停靠时间差异及满员，则第k层业主开始等待时其在某层的概率权数，每层都相等，因此其上下楼等待加乘坐的时间期望为上/下楼时间数列的平均数的2倍E(T全)=2*((k-1)+(k+2n-4))/2=2*(k+n-2.5)=2k+2n-5，与业主楼层k成正比。若减去上下乘坐时间2(k-1)，则等待时间期望E(T等)=2n-3，各楼层均一样。---------------------------情况3：其他假设不变，使用频率（或电梯速度）介于以上两种情况之间者，其等待和乘坐时间也介于两者之间，关于情况1和情况2谁更短：设单位运行时间=1，停靠消耗时间为0，则因情况1和情况2乘坐时间同为2(k-1),故E(T等情况1)-E(T等情况2)=E(T全情况1)-E(T全情况2)=(k^2+(7-4n)k+n^2-5n+6)/(2n-2)-(2k+2n-5)=(k^2-3k-3n^2+9n-4)/(2n-2)此二次函数在k=1.5时有最小值，又因k≥2，所以k=2时有最小值为(-n^2+3n-2)/(2/3(n-1)),可知当1≤n≤2时该最小值≥0,又因n≥2，故该最小值≤0（仅在n=2时=0），设E(T等情况1)-E(T等情况2)=0,因n≥2，故Δ=(12n^2-36n+25)/(2n-2)^2≥4.25\u0026gt;0,则有正整数解k0=1.5+(3n^2-9n+6.25)^0.5≥n≥2，又k≤n，故除n=2有k0=2外舍,
故E(T等情况1)≤E(T等情况2)，E(T全情况1)≤E(T全情况2),仅当k=n=2时相等
再考虑实际中停靠消耗时间不仅不为0而且一般较长甚至超过运动时间，因此实际中情况2时间往往要比上述计算更长的多，设停靠时间=t,E(T停情况1)=3t,E(T停情况2)=(2k+2n-5)t,则情况2与情况1等待时间期望之差还要增加（2k+2n-8)t（仅当k=n=2时相等）因此情况3的纯等待或全部时间都大于情况1而小于情况2，仍然与业主楼层k成正相关，其增长亦属于二次幂级但比情况1平缓。---------------------------------------再假设低层业主因等电梯超过其下楼梯时间而选择下楼梯，则各层时间又都将因此加快，但排序结果不变。再考虑回那种自动返回基层的设置，如果是1层...本来就越低越占便宜了这不结论更彻底吗，如果是返回m层，则k\u0026gt;m,等待加乘坐时间为2k-m-1，k≤m等待加乘坐时间为m-1，是从m层往上成正比综上，无论是纯粹的等电梯时间还是等待加乘坐时间都与所在楼层成正相关，所在楼层越高时间越长且都属于二次幂增长（除极端忙碌的情况2为等待时间各楼层一样，乘坐加等待时间与所在楼层成正比增长）。但若再考虑满员，则高于易满员楼层的楼层在下楼时又具有一定优势。PS:设置分段楼层停靠可以解决满员问题造成部分楼层长期进不去，设置奇偶层理性情况下本会降低效率，但现实中的好处就是，总有些非理性的人喜欢把所有电梯都按亮，尽管很明显其中一个马上要到了，可以减少因为这种人造成的极大效率浪费和寿命损失（神烦，这些人多了造成的结果就是自家楼栋的电梯寿命减少一倍---因为每次都多空转1个，然后即使寿命到了电梯故障自己已受罪，也仍不自知，此类大大的多大大的蠢）
■网友的回复
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