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如何将一个时间序列分解为周期序列和趋势序列的和？

序列

时间序列分解是时序分析中的重要方法 ， 广泛应用于时间序列预测 ， 时间序列异常检测 ， 时间序列聚类等场景 ， 在工业界有很多的落地应用 。一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合：

  • 长期趋势(Secular trend, T)：长期趋势指现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态 。
  • 季节变动(Seasonal Variation, S)：季节波动是由于季节的变化引起的现象发展水平的规则变动
  • 循环波动(Cyclical Variation, C)：循环波动指以若干年为期限 ， 不具严格规则的周期性连续变动
  • 不规则波动(Irregular Variation, I): 不规则波动指由于众多偶然因素对时间序列造成的影响
其中循环波动和季节变动一般可整合分解为有规律的周期序列 ， 而长期趋势则可整合分解为趋势序列 。分解出这两种序列是时序分解中的重要课题 。
本次文章为大家整理分解周期序列和趋势序列的方法 。
概述这里主要使用的技术是奇异谱分析（SSA) ， 其是根据观测到的时间序列构造轨迹矩阵 ， 并对轨迹矩阵进行分解和重构 ， 从而提取出代表原时间序列不同成分的信号 ， 如长期趋势信号、周期信号、噪声信号等 ， 从而进一步对分解得到的信号进行分析 。
算法流程如下：
  1. 根据原始时间序列构建轨迹矩阵 X
  2. 对矩阵X进行奇异值分解
  3. 按奇异值生成r个子矩阵
  4. 根据某一分组原则将子矩阵 Xi 分为 m个组
  5. 对子矩阵 Xi 进行对角均值化处理得到子序列!
  6. 对m个组中的子序列相加得到分组子序列 。
矩阵分解01 时间序列嵌入形成轨迹矩阵输入：原始时间序列y ， 窗口长度L

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显然矩阵X是一个汉克尔矩阵（每一条副对角线的元素都相等） ， 矩阵的行数为窗口长度L ， 列数为N-L+1
02 奇异值分解

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其中：

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奇异值分解将轨迹矩阵 X 分解为酉矩阵 U ， 对角阵 ∑ 和酉矩阵V的线性组合 。这意味着：

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【如何将一个时间序列分解为周期序列和趋势序列的和？】r表示矩阵X的非零特征根数也即矩阵的秩 。
03 特征分组不妨设根据某一分组原则将子矩阵分为了trend、periodic、noise 3组 ， 对应的矩阵X分解得到的子序列将被组合为3部分 。

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04 对角平均化

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代码实例'''数据处理'''import pandas as pdimport numpy as np'''数据可视化'''import matplotlib.pyplot as pltplt.rcParams['figure.dpi'] = 800           #调整分辨率plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #显示中文plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False   #正常显示负号###加载数据集###file = r'D:/关注@公众号｜机器学习研习院/crude-oil-price.csv'oil_info = pd.read_csv(file,index_col='date')price = oil_info['price']# 算法封装class SSA(object):        __supported_types = (pd.Series,np.ndarray,list) #限制时间序列的输入类型        def __init__(self,tseries,L):        '''        Args:            tseries:原始时间序列            L:窗口长度        '''                if not isinstance(tseries, self.__supported_types):            raise TypeError("请确保时间序列的数据类型为Pandas Series,NumpPy array 或者list")        else:            self.orig_TS = pd.Series(tseries)                    self.N = len(tseries)        #原始时间序列长度        if not 2 <= L <= self.N / 2:            raise ValueError("窗口长度必须介于[2,N/2]")        self.L = L                   #窗口长度 ， 轨迹矩阵的行数        self.K = self.N - self.L + 1 #轨迹矩阵的列数        self.X = np.array([self.orig_TS.values[i:L+i] for i in range(0,self.K)]).T                #奇异值分解        self.U,self.Sigma,VH = np.linalg.svd(self.X)        self.r = np.linalg.matrix_rank(self.X)    #矩阵的秩等于非零特征值的数量        #每一个非零特征值都对应一个子矩阵 ， 子矩阵对角平均化后得到原始时间序列的一个子序列        self.TS_comps = np.zeros((self.N,self.r))                 #对角平均还原        for i in range(self.r):            X_elem = self.Sigma[i] * np.outer(self.U[:,i], VH[i,:])             X_rev = X_elem[::-1]            self.TS_comps[:,i] = [X_rev.diagonal(j).mean() for j in range(-X_rev.shape[0]+1, X_rev.shape[1])]                def comps_to_df(self):        '''        将子序列数组转换成DataFrame类型        '''        cols = ["F{}".format(i) for i in range(self.r)]        return pd.DataFrame(data=https://www.isolves.com/it/cxkf/sf/2023-03-07/self.TS_comps,columns=cols,index=self.orig_TS.index) def reconsruct(self,indices): '''重构 ， 可以是部分重构（相当于子序列的分组合并） ， 也可以是全部合并（重构为原序列） Args: indices 重构所选择的子序列 ''' if isinstance(indices,int): indices = [indices] ts_vals = self.TS_comps[:,indices].sum(axis=1) return pd.Series(ts_vals,index=self.orig_TS.index) def vis(self): ''' 可视化子序列 ''' fig,axs = plt.subplots(self.r,sharex='all') for i in range(self.r): axs[i].plot(self.reconsruct(i),lw=1) price_SSA = SSA(price,7)comps_df = price_SSA.comps_to_df()


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