闭区间套定理证明确界存在定理?如何利用闭区间套定理来证明单调有界定理? _闭区间套定理

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本篇文章给大家谈谈闭区间套定理,以及闭区间套定理证明确界存在定理对应的知识点，希望对各位有所帮助，不要忘了收藏本站！
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什么是区间套定理？怎么证明？
如何利用闭区间套定理来证明单调有界定理
实数系几大基本定理都有什么？
用闭区间套定理证明零点定理
“闭区间套定理”的内容是什么？
叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界

Q1：什么是区间套定理？怎么证明？
什么是闭区间：数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。
闭区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。（开区间同理）
Q2：如何利用闭区间套定理来证明单调有界定理
设S是有上界集合，不妨设b是的一个上界，取a∈S构造区间[a,b] 。
定义性质P：闭区间E，满足存在x1∈E，x1∈S且存在x2∈E，x2不属于S 。
用二等分法构造区间套：
将[a,b]等分为两个子区间，则至少有一个具有性质P，不妨记该区间为[a1,b1]，则[a1,b1]含于[a,b]。
闭区间上连续函数的三大性质：介值定理，最大值定理，一致连续性定理，都是在他们需要出现的时候才出现，而且它们的证明都是用实数连续性定理证明的。整个体系可以用下图表示出来。
扩展资料：
闭区间套定理由于具有较好的构造性，因此在实数相关的命题中有广泛的应用，故闭区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。
例如用来证明单调有界定理，闭区间上的连续函数的性质（有界性、最值性、零点存在性、一致连续性等），拉格朗日中值定理等微分学上常用的定理。作为介绍，在这里给出用闭区间套定理证明单调有界定理和拉格朗日中值定理的过程。单调递增有上界，或单调递减有下界的数列必定收敛。
证明：以单调递增有上界的数列为例。设数列{xn}单调递增有上界b，如果数列从某一项开始，所有的项都等于某个常数a，那么a就是{xn}的极限。如果不是这样，即{xn}严格单调，
参考资料来源：百度百科-闭区间套定理

Q3：实数系几大基本定理都有什么？
实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则，共7个定理，。
一、上（下）确界原理
非空有上（下）界数集必有上（下）确界。
二、单调有界定理
单调有界数列必有极限。具体来说：
单调增（减）有上（下）界数列必收敛。
三、闭区间套定理（柯西-康托尔定理）
对于任何闭区间套，必存在属于所有闭区间的公共点。若区间长度趋于零，则该点是唯一公共点。
四、有限覆盖定理（博雷尔-勒贝格定理，海涅-波雷尔定理）
闭区间上的任意开覆盖，必有有限子覆盖。或者说：闭区间上的任意一个开覆盖，必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。
五、极限点定理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理）
有界无限点集必有聚点。或者说：每个无穷有界集至少有一个极限点。
六、有界闭区间的序列紧性（致密性定理）
有界数列必有收敛子列。
七、完备性（柯西收敛准则）
数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。
扩展资料
单调有界定理注意事项
1、单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需用其他方法；
2、数列从某一项开始单调有界的话，结论依然成立，这是因为增加或去掉数列有限项不改变数列的极限。
参考资料来源：百度百科——单调有界定理
参考资料来源：百度百科——实数公理

Q4：用闭区间套定理证明零点定理
不妨设f(a)<0<f(b) 。记c＝(a+b)/2，若f(c)＝0，结论成立。
若f(c)>0，则记[a1,b1]=[a,c]；若f(c)<0，则记[a1，b1]=[c,b] 。