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数学建模的几种常用方法 数学建模模型解题法( 二 )


6.层次分析法
AHP(层次分析法)是由美国著名运筹学家T.L.Satty于20世纪70年代提出的 。是指将决策问题的相关要素分解为目标、准则、方案等层次，然后在此基础上进行定性和定量分析的一种决策方法 。该方法的特点是在深入分析复杂决策问题的本质、影响因素和内在联系后，构建层次结构模型，然后用较少的量化信息对决策的思维过程进行数学化，从而为解决多准则或无结构特征的复杂决策问题提供了一种简单的决策方法 。AHP非常适合于定性或定性和定量相结合的决策分析 。这是一种非常有效的系统分析和科学决策的方法 。现已广泛应用于企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等领域 。
层次分析法的基本步骤是:建立层次结构模型；构造一个比较矩阵；计算权重向量并检查一致性 。
7.数据拟合方法
在建立数学模型时，实际问题有时只给出一组数据 。处理这类问题的一个简单易行的方法就是通过数据拟合得到“最佳”的近似函数公式——经验公式 。从几何的角度来说，就是寻找一条“最优”的曲线，使其最接近给定的数据点，也就是曲线拟合 。根据一组数据确定其经验公式，一般可分为三步:
(1)确定经验公式的形式
根据所描述系统的固有特性，参考已知数据的图形和特征或其应遵循的规律，确定经验公式的形式 。总体思路:首先，利用所研究系统相关问题的理论结论，确定经验公式的形式 。其次，在没有现成理论的情况下，最简单的处理方法是通过追踪将数据点连接成光滑的曲线，与已知的函数曲线进行比较，找出与其接近的曲线 。第三，如果要考虑所建立模型的必要逻辑和理论价值，可以用适当的数学方法对所研究系统的相关问题的机理进行定量分析，推导出更为严谨的数学公式 。
(2)确定经验公式中的待定参数
一般可以采用线性情况下的最小二乘法，误差较小，适用于测量数据比较准确的情况 。使用最小二乘法时，如果数学模型是非线性经验公式，待确定的参数通常是能否用合适的变量代替，转换成线性模型进行计算 。
(3)进行模型试验 。
经验公式确定后，将实测值与公式计算的理论值进行比较 。
8.回归分析方法
回归分析方法是统计分析的重要组成部分 。它是研究建模问题的一种常用而有效的方法，一般与实践密切相关 。因为随机变量的值是随机的，大部分都是通过实验得到的 。与随机变量相关的数学模型的准确性(可靠性)来源于实践 。需要进一步的统计实验来判断模型中随机变量(回归变量)的显著性，往往需要反复检验和修改模型 。回归分析的主要内容是从一组数据(回归模型)中确定这些变量(参数)之间的数量关系；第二，统计检验模型的可信度；第三，从众多相关变量中判断变量的显著性(即哪些显著，哪些不显著，显著保留，不显著忽略)；第四，应用结果是对实际问题的判断 。
根据回归模型的特点，常见的回归模型有:一元线性回归模型、多元线性回归模型和非线性回归模型 。选择回归模型的一般方法如下:
(1)排除法
基本思路是把所有可选择的变量都摇进模型，然后逐个做淘汰测试，直到不能淘汰，最后得到选中的模型 。
(2)收养法
基本思路是先选取几个变量进入模型，然后逐个检查其他变量，直到不能引入为止 。
(3)逐步回归法
基本思想是上述两种方法的结合 。
9.数学规划方法(线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划)
(1)线性规划
线性规划问题的共同特征:①一组可控因素(决策变量)X代表一个方案，一般X大于等于零；②约束是线性等式或不等式；③目标函数是线性的 。最大化或最小化目标函数 。
当变量较少时，可用图解法求得最优解 。当变量较多时，一般采用单纯形法求解线性规划问题 。这时候一般都是通过电脑编程来解决 。
(2)非线性规划
如果至少一个目标函数或约束是非线性函数，则优化问题是非线性规划问题 。非线性规划问题的求解方法主要有罚函数法和近似规划法 。
(3)整数线性规划
整数规划问题是要求决策变量取整数值的线性或非线性规划问题 。可以分为整数线性规划和整数非线性规划 。求解整数规划的方法主要有分枝定界法和割平面法 。其实常用的是0-1编程 。指派问题是0-1规划问题的特例，可以用匈牙利法求解 。


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